int (x^2-3 x+1)/((x-1)(x^2)-x+1) d x

Para resolver essa integral, podemos usar a decomposição em fracos parciais. Primeiro, vamos decompor a fração na forma:<br /><br />\(\frac{x^{2}-3 x+1}{(x-1)\left(x^{2}-x+1\right)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^{2}-x+1}\)<br /><br />Multiplicando ambos os lados por \((x-1)\left(x^{2}-x+1\right)\), obtemos:<br /><br />\(x^{2}-3x+1 = A(x^{2}-x+1) + (Bx+C)(x-1)\)<br /><br />Expandindo e agrupando os termos, temos:<br /><br />\(x^{2}-3x+1 = Ax^{2}-Ax+Bx^{2}-Bx+Cx-C\)<br /><br />\(x^{2}-3x+1 = (A+B)x^{2}+(-A-B+C)x-C\)<br /><br />Comparando os coeficientes, temos o seguinte sistema de equações:<br /><br />1. \(A+B = 1\)<br />2. \(-A-B+C = -3\)<br />3. \(-C = 1\)<br /><br />Resolvendo o sistema, encontramos \(A = 2\), \(B = -1\) e \(C = -1\). Portanto, a decomposição em fracos parciais é:<br /><br />\(\frac{x^{2}-3 x+1}{(x-1)\left(x^{2}-x+1\right)} = \frac{2}{x-1} + \frac{-x-1}{x^{2}-x+1}\)<br /><br />Agora, podemos integrar cada fração separadamente:<br /><br />\(\int \frac{2}{x-1} dx = 2 \ln |x-1|\)<br /><br />\(\int \frac{-x-1}{x^{2}-x+1} dx = - \int \frac{x+1}{x^{2}-x+1} dx\)<br /><br />Para integrar a segunda fração, podemos usar a substituição \(u = x^{2}-x+1\), então \(du = (2x-1)dx\). Rearranjando a integral, temos:<br /><br />\(- \int \frac{x+1}{u} \frac{du}{2x-1}\)<br /><br />No entanto, essa integral não pode ser resolvida de forma elementar. Portanto, a resposta final é:<br /><br />\(\int \frac{x^{2}-3 x+1}{(x-1)\left(x^{2}-x+1\right)} d x = 2 \ln |x-1| - \int \frac{x+1}{x^{2}-x+1} d x\)