7. Em uma determinada localidade , a distribuição de renda (em milhares de R)é uma v.a. X com f.d.p.: f(x)= ) (1)/(10)x+(1)/(10),0leqslant xleqslant 2 -(3)/(40)x+(9)/(20),2lt xleqslant 6 0,xlt 0ouxgt 6 a. Esboce o gráfico de f(x) b. Calcule e esboce o gráfico da f.d.. correspondente, F(x) c. Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a R 6 mil reais?

a. Para esboçar o gráfico de $f(x)$, podemos utilizar as informações fornecidas na função de distribuição de probabilidade (f.d.p.). <br /><br />Para $0 \leqslant x \leqslant 2$, temos $f(x) = \frac{1}{10}x + \frac{1}{10}$. Isso é uma reta com coeficiente angular positivo, começando em $x = 0$ e atingindo $x = 2$.<br /><br />Para $2 < x \leqslant 6$, temos $f(x) = -\frac{3}{40}x + \frac{9}{20}$. Isso é uma reta com coeficiente angular negativo, começando em $x = 2$ e atingindo $x = 6$.<br /><br />Para $x < 0$ ou $x > 6$, temos $f(x) = 0$. Isso é uma reta horizontal em $y = 0$.<br /><br />b. Para calcular e esboçar o gráfico da função de distribuição correspondente, $F(x)$, devemos calcular a integral da função de distribuição de probabilidade, $f(x)$, em relação a $x$.<br /><br />Para $x < 0$, temos $F(x) = 0$.<br /><br />Para $0 \leqslant x \leqslant 2$, temos $F(x) = \int_{0}^{x} \left(\frac{1}{10}t + \frac{1}{10}\right) dt = \left[\frac{1}{20}t^2 + \frac{1}{10}x\right]_{0}^{x} = \frac{1}{20}x^2 + \frac{1}{10}x$.<br /><br />Para $2 < x \leqslant 6$, temos $F(x) = \int_{0}^{2} \left(\frac{1}{10}t + \frac{1}{10}\right) dt + \int_{2}^{x} \left(-\frac{3}{40}t + \frac{9}{20}\right) dt = \left[\frac{1}{20}t^2 + \frac{1}{10}x\right]_{0}^{2} + \left[-\frac{1}{40}t^2 + \frac{9}{20}x\right]_{2}^{x} = \frac{1}{10} + \left[-\frac{1}{40}x^2 + \frac{9}{20}x - \left(-\frac{1}{40}(2)^2 + \frac{9}{20}(2)\right)\right] = \frac{1}{10} - \frac{1}{40}x^2 + \frac{9}{20}x - \frac{1}{20} + \frac{9}{10} = \frac{9}{10} - \frac{1}{40}x^2 + \frac{9}{20}x - \frac{1}{20}$.<br /><br />Para $x > 6$, temos $F(x) = 1$.<br /><br />c. Para calcular a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter uma renda superior a R$ 6 mil reais, devemos calcular a integral da função de distribuição de probabilidade, $f(x)$, em relação a $x$, para $x > 6$.<br /><br />$\int_{6}^{\infty} f(x) dx = \int_{6}^{\infty} \left(-\frac{3}{40}x + \frac{9}{20}\right) dx = \left[-\frac{1}{40}x^2 + \frac{9}{20}x\right]_{6}^{\infty} = \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{40}b^2 + \frac{9}{20}b - \left(-\frac{1}{40}(6)^2 + \frac{9}{20}(6)\right)\right) = \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{40}b^2 + \frac{9}{20}b - \left(-\frac{1}{20} + \frac{9}{10}\right)\right) = \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{40}b^2 + \frac{9}{20}b - \left(-\frac{1}{20} + \frac{9}{10}\right)\right) = \lim_{b \to \infty