circunferência de raio neq é igual à área de uma circunferência inscrita em um quadrado de lado 1. II. A razão entre as áreas de um triângulo equilátero de lado m e um hexágono regular de lado m é igual a (1)/(6) III. Aumentando o lado de um quadrado em uma unidade, obtém -se um novo quadrado com área igual ao dobro do primeiro . Então, lado do quadrado inicial mede 1+sqrt (2) Considerando as afirmações, quais são corretas? a) Apenas I. d) Apenas II e III b) Apenas II. e) I, II e III c) Apenas III.

Vamos analisar cada uma das afirmações para determinar quais são corretas:<br /><br />**I. A circunferência de raio \( r \) é igual à área de uma circunferência inscrita em um quadrado de lado 1.**<br /><br />Para verificar essa afirmação, precisamos calcular a área de uma circunferência inscrita em um quadrado de lado 1. A circunferência inscrita em um quadrado de lado 1 tem um raio \( r \) que pode ser encontrado usando a fórmula \( r = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \). A área de uma circunferência é dada por \( \pi r^2 \). Substituindo \( r \) na fórmula, temos:<br /><br />\[ \pi \left( \frac{1}{\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \cdot \frac{1}{\pi} = 1 \]<br /><br />Portanto, a área da circunferência é 1, que é igual ao lado do quadrado. Assim, a afirmação I é correta.<br /><br />**II. A razão entre as áreas de um triângulo equilátero de lado \( m \) e um hexágono regular de lado \( m \) é igual a \( \frac{1}{6} \).**<br /><br />Para verificar essa afirmação, precisamos calcular as áreas de um triângulo equilátero e um hexágono regular, ambos de lado \( m \).<br /><br />- A área de um triângulo equilátero de lado \( m \) é \( \frac{\sqrt{3}}{4} m^2 \).<br />- A área de um hexágono regular de lado \( m \) é \( \frac{3\sqrt{3}}{2} m^2 \).<br /><br />A razão entre as áreas é:<br /><br />\[ \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} m^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2} m^2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{12\sqrt{3}} = \frac{1}{6} \]<br /><br />Portanto, a afirmação II é correta.<br /><br />**III. Aumentando o lado de um quadrado em uma unidade, obtém-se um novo quadrado com área igual ao dobro do primeiro. Então, o lado do quadrado inicial mede \( 1 + \sqrt{2} \).**<br /><br />Para verificar essa afirmação, precisamos resolver a equação:<br /><br />Se o lado do quadrado inicial é \( x \), então o novo lado será \( x + 1 \). A área do novo quadrado é \( (x + 1)^2 \), e a área do quadrado original é \( x^2 \). De acordo com a afirmação, temos:<br /><br />\[ (x + 1)^2 = 2x^2 \]<br /><br />Resolvendo essa equação:<br /><br />\[ x^2 + 2x + 1 = 2x^2 \]<br />\[ 1 = x^2 \]<br />\[ x = 1 \]<br /><br />Portanto, a afirmação III é falsa, pois o lado do quadrado inicial não pode ser \( 1 + \sqrt{2} \).<br /><br />**Conclusão:**<br /><br />As afirmações corretas são:<br /><br />a) Apenas I.<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />a) Apenas I.