24) Quantos termos da P.G. (2,6,18,ldots ) devem ser considerados a fim de que a sua soma seja 19.682?

Para determinar quantos termos da progressão geométrica (P.G.) $(2,6,18,\ldots)$ devem ser considerados para que a sua soma seja 19.682, podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma P.G. finita:<br /><br />$S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}$<br /><br />Onde:<br />- $S_n$ é a soma dos primeiros $n$ termos da P.G.<br />- $a_1$ é o primeiro termo da P.G.<br />- $r$ é a razão da P.G.<br />- $n$ é o número de termos que queremos somar.<br /><br />No caso da P.G. $(2,6,18,\ldots)$, temos:<br />- $a_1 = 2$ (primeiro termo)<br />- $r = 3$ (razão)<br />- $S_n = 19.682$ (soma desejada)<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />$19.682 = \frac{2 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$19.682 = 2 \cdot \frac{3^n - 1}{2}$<br /><br />$19.682 = 3^n - 1$<br /><br />$3^n = 19.683$<br /><br />Agora, precisamos encontrar o valor de $n$ que satisfaz essa equação. Podemos fazer isso aplicando logaritmos:<br /><br />$log_3(19.683) = n$<br /><br />Usando uma calculadora, encontramos que $n \approx 5$.<br /><br />Portanto, precisamos considerar 5 termos da P.G. $(2,6,18,\ldots)$ para que a sua soma seja 19.682.