37) (sqrt (2))^x^(2-6x)=(11)/(16)

Para resolver a equação \((\sqrt{2})^{x^2 - 6x} = \frac{11}{16}\), vamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Reescrever a fração \(\frac{11}{16}\) como uma potência de \(\sqrt{2}\):**<br /><br /> \[<br /> \frac{11}{16} = \left(\frac{11}{4}\right)^2 = \left(\sqrt{2}^2 \cdot \frac{11}{4}\right)^2 = \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{22}}{2}\right)^2<br /> \]<br /><br /> Portanto, podemos reescrever \(\frac{11}{16}\) como \(\left(\frac{\sqrt{22}}{2}\right)^2\).<br /><br />2. **Igualar as potências de \(\sqrt{2}\):**<br /><br /> Como as bases são iguais (\(\sqrt{2}\)), podemos igualar os expoentes:<br /><br /> \[<br /> x^2 - 6x = 2 \log_{\sqrt{2}} \left(\frac{\sqrt{22}}{2}\right)<br /> \]<br /><br /> Simplificando o logaritmo:<br /><br /> \[<br /> \log_{\sqrt{2}} \left(\frac{\sqrt{22}}{2}\right) = \log_{\sqrt{2}} \left(\sqrt{22}\right) - \log_{\sqrt{2}} 2 = \frac{1}{2} \log_2 22 - \frac{1}{2} \log_2 2 = \frac{1}{2} \log_2 22 - 1<br /> \]<br /><br /> Então:<br /><br /> \[<br /> 2 \left(\frac{1}{2} \log_2 22 - 1\right) = \log_2 22 - 2<br /> \]<br /><br /> Portanto:<br /><br /> \[<br /> x^2 - 6x = \log_2 22 - 2<br /> \]<br /><br />3. **Resolver a equação quadrática:**<br /><br /> A equação quadrática é:<br /><br /> \[<br /> x^2 - 6x + (\log_2 22 - 2) = 0<br /> \]<br /><br /> Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br /> \[<br /> x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(\log_2 22 - 2)}}{2}<br /> \]<br /><br /> Simplificando:<br /><br /> \[<br /> x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4\log_2 22 + 8}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{44 - 4\log_2 22}}{2}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> x = \frac{6 \pm \sqrt{4(11 - \log_2 22)}}{2} = 3 \pm \sqrt{11 - \log_2 22}<br /> \]<br /><br />Portanto, as soluções são:<br /><br />\[<br />x = 3 + \sqrt{11 - \log_2 22} \quad \text{ou} \quad x = 3 - \sqrt{11 - \log_2 22}<br />\]