3. (3 pontos) Dada a sequência de Fibonacci (u_(1),u_(2),u_(3),ldots ,u_(n),u_(n+1),u_(n+2),ldots ) onde u_(n+2)=u_(n+1)+ u_(n) mostre que u_(3)+u_(6)+u_(9)+... +u_(3n)=(u_(3n+2)-1)/(2)

Para mostrar que a soma dos termos da sequência de Fibonacci de índices múltiplos de 3 é igual a $\frac{u_{3n+2}-1}{2}$, podemos usar uma prova por indução.<br /><br />Basis da indução: Para $n=1$, temos $u_3 = \frac{u_5 - 1}{2}$. Portanto, a afirmação é verdadeira para $n=1$.<br /><br />Hipótese de indução: Supomos que a afirmação é verdadeira para algum inteiro $k$, ou seja, $u_3 + u_6 + u_9 + \cdots + u_{3k} = \frac{u_{3k+2} - 1}{2}$.<br /><br />Passo de indução: Queremos mostrar que a afirmação é verdadeira para $k+1$, ou seja, $u_3 + u_6 + u_9 + \cdots + u_{3k} + u_{3k+3} = \frac{u_{3(k+1)+2} - 1}{2}$.<br /><br />Usando a hipótese de indução, temos:<br />$u_3 + u_6 + u_9 + \cdots + u_{3k} + u_{3k+3} = \frac{u_{3k+2} - 1}{2} + u_{3k+3}$<br /><br />Sabemos que $u_{3k+3} = u_{3k+2} + u_{3k+1}$, então podemos substituir $u_{3k+3}$ na equação acima:<br />$\frac{u_{3k+2} - 1}{2} + u_{3k+2} + u_{3k+1} = \frac{u_{3k+2} - 1}{2} + \frac{2u_{3k+2} + 2u_{3k+1}}{2} = \frac{u_{3k+2} - 1 + 2u_{3k+2} + 2u_{3k+1}}{2} = \frac{3u_{3k+2} + 2u_{3k+1} - 1}{2}$<br /><br />Agora, usando a definição da sequência de Fibonacci, temos $u_{3k+2} = u_{3k+1} + u_{3k}$, então podemos substituir $u_{3k+2}$ na equação acima:<br />$\frac{3(u_{3k+1} + u_{3k}) + 2u_{3k+1} - 1}{2} = \frac{3u_{3k+1} + 3u_{3k} + 2u_{3k+1} - 1}{2} = \frac{5u_{3k+1} + 3u_{3k} - 1}{2} = \frac{u_{3k+2} - 1}{2}$<br /><br />Portanto, a afirmação é verdadeira para $k+1$.<br /><br />Conclusão: Pelo princípio de indução matemática, a afirmação é verdadeira para todos os inteiros positivos $n$.