Em muitas situações são necessárias as combinações de diferentes técnicas para a resolução de integrais. Utilizando a melhor técnica assinale a resolução da integral a int (dx)/(x^2)sqrt (x^2+1) A -(sqrt (x^2+1))/(x)+C.hat (v) B -(sqrt (x^8-1))/(x)+C (sqrt (x^2+1))/(x)+C D sqrt (x^2+1)+C E E -(x)/(sqrt (x^2)+1)+C

Para resolver a integral \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}\), podemos utilizar a técnica de substituição. Vamos fazer a substituição \(u = x^2 + 1\). Então, \(du = 2x \, dx\), ou seja, \(dx = \frac{du}{2x}\).<br /><br />Substituindo na integral, temos:<br /><br />\[<br />\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}} = \int \frac{1}{x^2 \sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2x}<br />\]<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\[<br />\int \frac{1}{2x^3 \sqrt{u}} \, du<br />\]<br /><br />Podemos reescrever \(x^3\) como \(u^{3/2}\):<br /><br />\[<br />\int \frac{1}{2 u^{3/2} \sqrt{u}} \, du<br />\]<br /><br />Simplificando ainda mais, temos:<br /><br />\[<br />\int \frac{1}{2 u^{3/2} u^{1/2}} \, du = \int \frac{1}{2 u^2} \, du<br />\]<br /><br />Agora, podemos integrar diretamente:<br /><br />\[<br />\int \frac{1}{2 u^2} \, du = -\frac{1}{2u} + C<br />\]<br /><br />Substituindo \(u = x^2 + 1\), temos:<br /><br />\[<br />-\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />A) \(-\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} + C\)<br /><br />Note que a resposta correta não está listada entre as opções fornecidas. A resposta correta é \(-\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C\).