Resolve a equeço (9^5 x+1)/(81^2 x-3)=(27^8-3 x)/(3^2 x-5)

Para resolver a equação \( \frac{9^{3x+1}}{81^{2x-3}} = \frac{27^{8-3x}}{3^{2x-5}} \), vamos primeiro simplificar as expressões usando as propriedades das potências.<br /><br />Primeiro, note que \( 9 = 3^2 \), \( 81 = 3^4 \) e \( 27 = 3^3 \). Substituindo esses valores na equação, temos:<br /><br />\[ \frac{(3^2)^{3x+1}}{(3^4)^{2x-3}} = \frac{(3^3)^{8-3x}}{3^{2x-5}} \]<br /><br />Simplificando as potências, temos:<br /><br />\[ \frac{3^{2(3x+1)}}{3^{4(2x-3)}} = \frac{3^{3(8-3x)}}{3^{2x-5}} \]<br /><br />\[ \frac{3^{6x+2}}{3^{8x-12}} = \frac{3^{24-9x}}{3^{2x-5}} \]<br /><br />Agora, podemos simplificar ainda mais:<br /><br />\[ 3^{6x+2 - (8x-12)} = 3^{24-9x - (2x-5)} \]<br /><br />\[ 3^{6x+2 - 8x+12} = 3^{24-9x-2x+5} \]<br /><br />\[ 3^{-2x+14} = 3^{29-11x} \]<br /><br />Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:<br /><br />\[ -2x + 14 = 29 - 11x \]<br /><br />Resolvendo essa equação para \( x \), temos:<br /><br />\[ 14 - 29 = -11x + 2x \]<br /><br />\[ -15 = -9x \]<br /><br />\[ x = \frac{15}{9} \]<br /><br />\[ x = \frac{5}{3} \]<br /><br />Portanto, a solução da equação é \( x = \frac{5}{3} \).