(COL. NAVA L) O perímetro do triângulo ABC mede x unidades triângulo DE F é semelhante ao triângulo A BC e sua área é 36 vezes a área do triângulo AB C. Nessas condições é correto afir- mar que o perímetro do triângulo DEF e igual a a) 2x. b) 3x. c) 6x. d) 9x. e) 10 x

Para resolver esse problema, precisamos usar a propriedade dos triângulos semelhantes. Dois triângulos são semelhantes se eles têm ângulos congruentes e seus lados correspondentes são proporcionais.<br /><br />Dado que o triângulo DEF é semelhante ao triângulo ABC, podemos escrever a seguinte proporção entre os lados correspondentes dos triângulos:<br /><br />\[<br />\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC}<br />\]<br /><br />Além disso, sabemos que a área do triângulo DEF é 36 vezes a área do triângulo ABC. A área de um triângulo é dada pela fórmula:<br /><br />\[<br />\text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}<br />\]<br /><br />Como os triângulos são semelhantes, a razão entre as áreas dos triângulos é igual ao quadrado da razão entre os lados correspondentes:<br /><br />\[<br />\left(\frac{DE}{AB}\right)^2 = \frac{\text{Área do triângulo DEF}}{\text{Área do triângulo ABC}} = 36<br />\]<br /><br />Resolvendo para a razão entre os lados correspondentes:<br /><br />\[<br />\left(\frac{DE}{AB}\right)^2 = 36 \implies \frac{DE}{AB} = \sqrt{36} = 6<br />\]<br /><br />Como o perímetro de um triângulo é a soma dos comprimentos de seus lados, podemos escrever:<br /><br />\[<br />\text{Perímetro do triângulo DEF} = DE + EF + DF = 6 \times (\text{Perímetro do triângulo ABC})<br />\]<br /><br />Dado que o perímetro do triângulo ABC é \(x\) unidades, temos:<br /><br />\[<br />\text{Perímetro do triângulo DEF} = 6x<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />c) 6x.