15. Mostre que A(1,1),B(7,4),C(5,10) e D(-1,7) são vértices de um paralelogramo. 16. Mostre que A(1,1),B(11,3),C(10,8) e D(0,6) são vértices de um retângulo. 17-20 Esboce o gráfico da equação. 17. x=3 18. y=-2 19. xy=0 20. vert yvert =1

15. Para mostrar que os pontos \(A(1,1)\), \(B(7,4)\), \(C(5,10)\) e \(D(-1,7)\) são vértices de um paralelogramo, precisamos verificar se os vetores correspondentes aos lados opostos são iguais. Vamos calcular os vetores \( \overrightarrow{AB} \) e \( \overrightarrow{CD} \), bem como \( \overrightarrow{AD} \) e \( \overrightarrow{BC} \).<br /><br />\[<br />\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 7 - 1 \\ 4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} -1 - 5 \\ 7 - 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \end{pmatrix}<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} -1 - 1 \\ 7 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 5 - 7 \\ 10 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Como \( \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD} \) e \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \), podemos concluir que os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) são vértices de um paralelogramo.<br /><br />16. Para mostrar que os pontos \(A(1,1)\), \(B(11,3)\), \(C(10,8)\) e \(D(0,6)\) são vértices de um retângulo, precisamos verificar se os ângulos entre os lados são retos, ou seja, se os vetores correspondentes aos lados são ortogonais. Vamos calcular os vetores \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{BC} \), \( \overrightarrow{CD} \) e \( \overrightarrow{DA} \).<br /><br />\[<br />\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 11 - 1 \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 10 - 11 \\ 8 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 0 - 10 \\ 6 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ -2 \end{pmatrix}<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} 1 - 0 \\ 1 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Verificando a ortogonalidade:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 10 \cdot (-1) + 2 \cdot 5 = -10 + 10 = 0<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (-1) \cdot (-10) + 5 \cdot (-2) = 10 - 10 = 0<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = (-10) \cdot 1 + (-2) \cdot (-5) = -10 + 10 = 0<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 \cdot 10 + (-5) \cdot 2 = 10 - 10 = 0<br />\]<br /><br />Como todos os produtos escalaros são iguais a zero, os vetores são ortogonais, o que significa que os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) são vértices de um retângulo.<br /><br />17. O gráfico da equação \(x = 3\) é uma linha vertical que passa pelo ponto \(x = 3\) no eixo \(x\).<br /><br />18. O gráfico da equação \(y = -2\) é uma linha horizontal que passa pelo ponto