Exercicio 4. Verifque quais propriedades são satisfeitas ela operação ast :Qarrow Q;aast b=(ab)/(3)

Para verificar as propriedades da operação \(\ast : Q \rightarrow Q\) definida por \(a \ast b = \frac{ab}{3}\), vamos analisar cada uma das propriedades comuns das operações binárias:<br /><br />1. **Comutatividade**: <br /> - Para verificar se a operação é comutativa, devemos verificar se \(a \ast b = b \ast a\) para todos \(a, b \in Q\).<br /> - \(a \ast b = \frac{ab}{3}\) e \(b \ast a = \frac{ba}{3}\).<br /> - Como a multiplicação de números racionais é comutativa (\(ab = ba\)), temos que \(\frac{ab}{3} = \frac{ba}{3}\).<br /> - Portanto, a operação é comutativa.<br /><br />2. **Associatividade**:<br /> - Para verificar se a operação é associativa, devemos verificar se \((a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)\) para todos \(a, b, c \in Q\).<br /> - \((a \ast b) \ast c = \left(\frac{ab}{3}\right) \ast c = \frac{\left(\frac{ab}{3}\right)c}{3} = \frac{abc}{9}\).<br /> - \(a \ast (b \ast c) = a \ast \left(\frac{bc}{3}\right) = \frac{a \cdot \left(\frac{bc}{3}\right)}{3} = \frac{abc}{9}\).<br /> - Portanto, a operação é associativa.<br /><br />3. **Identidade aditiva**:<br /> - Para verificar se existe uma identidade aditiva, devemos encontrar um elemento \(e\) tal que \(a \ast e = a\) para todo \(a \in Q\).<br /> - \(a \ast e = \frac{ae}{3} = a\).<br /> - Isolando \(e\), temos \(\frac{ae}{3} = a \Rightarrow ae = 3a \Rightarrow e = 3\).<br /> - Portanto, a identidade aditiva é \(3\).<br /><br />4. **Inverso multiplicativo**:<br /> - Para verificar se cada elemento tem um inverso multiplicativo, devemos encontrar um elemento \(e\) tal que \(a \ast e = 1\) para todo \(a \in Q\).<br /> - \(a \ast e = \frac{ae}{3} = 1\).<br /> - Isolando \(e\), temos \(\frac{ae}{3} = 1 \Rightarrow ae = 3 \Rightarrow e = \frac{3}{a}\).<br /> - Portanto, o inverso multiplicativo de \(a\) é \(\frac{3}{a}\).<br /><br />5. **Distributividade**:<br /> - Para verificar se a operação é distributiva em relação à adição, devemos verificar se \(a \ast (b + c) = (a \ast b) + (a \ast c)\) para todos \(a, b, c \in Q\).<br /> - \(a \ast (b + c) = \frac{a(b + c)}{3} = \frac{ab + ac}{3}\).<br /> - \((a \ast b) + (a \ast c) = \frac{ab}{3} + \frac{ac}{3} = \frac{ab + ac}{3}\).<br /> - Portanto, a operação é distributiva.<br /><br />6. **Distributividade**:<br /> - Para verificar se a operação é distributiva em relação à multiplicação, devemos verificar se \(a \ast (b \cdot c) = (a \ast b) \cdot (a \ast c)\) para todos \(a, b, c \in Q\).<br /> - \(a \ast (b \cdot c) = \frac{a(b \cdot c)}{3} = \frac{abc}{3}\).<br /> - \((a \ast b) \cdot (a \ast c) = \left(\frac{ab}{3}\right) \cdot \left(\frac{ac}{3}\right) = \frac{abc}{9}\).<br /> - Portanto, a operação não é distributiva em relação à multiplicação.<br /><br />Resumindo, a operação \(\ast : Q \rightarrow Q\) definida por \(a \ast b = \frac{ab}{3}\) satisfaz as propriedades de comutatividade, associatividade, identidade aditiva, inverso multiplicativo e distributividade em