(6) Sendo ngt 2 demonstrar: (n^2)!gt (n!)^2

Para demonstrar que $(n^{2})! > (n!)^{2}$ para $n > 2$, podemos usar uma prova por indução matemática.<br /><br />Base da indução: Para $n = 3$, temos $(3^{2})! = 9!$ e $(3!)^{2} = 6^{2} = 36$. Portanto, $9! > 36$.<br /><br />Hipótese de indução: Supomos que a desigualdade é verdadeira para algum $k > 2$, ou seja, $(k^{2})! > (k!)^{2}$.<br /><br />Passo de indução: Precisamos mostrar que a desigualdade é verdadeira para $k + 1$, ou seja, $((k + 1)^{2})! > ((k + 1)!)^{2}$.<br /><br />Podemos reescrever $((k + 1)^{2})!$ como $(k + 1)^{2} \cdot (k^{2})!$ e $((k + 1)!)^{2}$ como $(k + 1)! \cdot (k!)^{2}$.<br /><br />Usando a hipótese de indução, temos $(k^{2})! > (k!)^{2}$.<br /><br />Portanto, $((k + 1)^{2})! = (k + 1)^{2} \cdot (k^{2})! > (k + 1)^{2} \cdot (k!)^{2}$.<br /><br />Como $(k + 1)^{2} > (k!)^{2}$ para $k > 2$, temos $(k + 1)^{2} \cdot (k!)^{2} > (k!)^{2} \cdot (k!)^{2} = ((k + 1)!)^{2}$.<br /><br />Portanto, $((k + 1)^{2})! > ((k + 1)!)^{2}$.<br /><br />Concluímos que a desigualdade é verdadeira para $k + 1$.<br /><br />Portanto, pela indução matemática, a desigualdade $(n^{2})! > (n!)^{2}$ é verdadeira para todos os $n > 2$.