Analisando as afirmações abaixo I. Em um certo experimento que se comporta como uma Cadeia de Markov a matriz de probabilidade é dada por P=[} 0,8&0,4 0,2&0,6 ] II. Um dos autovalores associados a matriz A=[} 1&2 4&3 ] é 6. Podemos dizer que: Escolha uma opção: Apenas a afirmação lé verdadeira As duas afirmações são falsas As duas afirmações são verdadeiras Apenas a afirmação II é verdadeira

Vamos analisar cada uma das afirmações:<br /><br />**I. Em um certo experimento que se comporta como uma Cadeia de Markov a matriz de probabilidade é dada por $P=[\begin{matrix} 0,8&0,4\\ 0,2&0,6\end{matrix} ]$, supondo que $v_{0}=[\begin{matrix} 0,1\\ 0,9\end{matrix} ]$. Então $v_{1}=P\cdot v_{0}$ é dado por $v_{1}=[\begin{matrix} 0,44\\ 0,56\end{matrix} ]$**<br /><br />Para verificar se essa afirmação está correta, precisamos calcular $v_{1}$ multiplicando a matriz de probabilidade $P$ pela matriz de estados inicial $v_{0}$:<br /><br />\[ v_{1} = P \cdot v_{0} = \begin{bmatrix} 0,8 & 0,4 \\ 0,2 & 0,6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0,1 \\ 0,9 \end{bmatrix} \]<br /><br />Calculando:<br /><br />\[ v_{1} = \begin{bmatrix} (0,8 \cdot 0,1) + (0,4 \cdot 0,9) \\ (0,2 \cdot 0,1) + (0,6 \cdot 0,9) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0,08 + 0,36 \\ 0,02 + 0,54 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0,44 \\ 0,56 \end{bmatrix} \]<br /><br />Portanto, a afirmação I está correta.<br /><br />**II. Um dos autovalores associados a matriz $A=[\begin{matrix} 1&2\\ 4&3\end{matrix} ]$ é 6.**<br /><br />Para verificar se essa afirmação está correta, precisamos calcular os autovalores da matriz $A$. Os autovalores de uma matriz $A$ são encontrados resolvendo a equação característica:<br /><br />\[ \text{det}(A - \lambda I) = 0 \]<br /><br />onde $\lambda$ é um autovalor e $I$ é a matriz identidade.<br /><br />Para a matriz $A$ dada:<br /><br />\[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 4 & 3 - \lambda \end{bmatrix} \]<br /><br />Calculando o determinante:<br /><br />\[ \text{det}(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(3 - \lambda) - (2 \cdot 4) = \lambda^2 - 4\lambda + 3 - 8 = \lambda^2 - 4\lambda - 5 \]<br /><br />Resolvendo a equação quadrática:<br /><br />\[ \lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0 \]<br /><br />Usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />\[ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \]<br /><br />Portanto, os autovalores são:<br /><br />\[ \lambda_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \]<br />\[ \lambda_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 \]<br /><br />Nenhuma das opções é 6. Portanto, a afirmação II está falsa.<br /><br />**Conclusão:**<br /><br />Apenas a afirmação I é verdadeira.