1. Resolva as equaçōes diferencias a baxo: [ y^prime prime-12 y^prime+36 y=0 ; y(0^prime)=1 ( e ) y^prime(0)=0 ]

Para resolver a equação diferencial dada, podemos usar o método de solução geral. A equação diferencial é uma equação diferencial linear de segundo ordem. A forma geral da solução para essa equação é:<br /><br />\[ y(x) = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x} \]<br /><br />onde \( r_1 \) e \( r_2 \) são as raízes da equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida a partir da equação diferencial substituindo \( y' \) e \( y'' \) por seus valores correspondentes em termos de \( y \) e \( x \).<br /><br />Para a equação diferencial dada, a equação característica é:<br /><br />\[ r^2 - 12r + 36 = 0 \]<br /><br />Resolvendo essa equação quadrática, encontramos duas raízes: \( r_1 = 6 \) e \( r_2 = 6 \). Ambas as raízes são iguais, o que significa que a equação diferencial tem uma solução geral da forma:<br /><br />\[ y(x) = (c_1 + c_2 x) e^{6x} \]<br /><br />Agora, podemos usar as condições iniciais \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 0 \) para determinar os valores de \( c_1 \) e \( c_2 \). Substituindo \( x = 0 \) na solução geral, temos:<br /><br />\[ y(0) = (c_1 + c_2 \cdot 0) e^{6 \cdot 0} = c_1 = 1 \]<br /><br />Para encontrar \( c_2 \), podemos derivar a solução geral e usar a condição \( y'(0) = 0 \). A derivada da solução geral é:<br /><br />\[ y'(x) = (c_1 + 2c_2 x) e^{6x} + 6(c_1 + c_2 x) e^{6x} \]<br /><br />Substituindo \( x = 0 \), temos:<br /><br />\[ y'(0) = (c_1 + 2c_2 \cdot 0) e^{6 \cdot 0} + 6(c_1 + c_2 \cdot 0) e^{6 \cdot 0} = c_1 + 6c_1 = 7c_1 = 0 \]<br /><br />Portanto, \( c_1 = 0 \) e \( c_2 = -\frac{1}{7} \). Substituindo esses valores na solução geral, temos:<br /><br />\[ y(x) = -\frac{1}{7} (1 - x) e^{6x} \]<br /><br />Portanto, a solução para a equação diferencial dada é:<br /><br />\[ y(x) = -\frac{1}{7} (1 - x) e^{6x} \]