Calculando a área total do interior da rosa r=sen2Theta

Para calcular a área total do interior da rosa \( r = \sin(2\Theta) \), precisamos usar a fórmula da área em coordenadas polares:<br /><br />\[ A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sin(2\Theta)} r \, dr \, d\Theta \]<br /><br />Primeiro, integramos em \( r \):<br /><br />\[ \int_{0}^{\sin(2\Theta)} r \, dr = \left. \frac{r^2}{2} \right|_{0}^{\sin(2\Theta)} = \frac{\sin^2(2\Theta)}{2} \]<br /><br />Agora, integramos em \( \Theta \):<br /><br />\[ A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin^2(2\Theta)}{2} \, d\Theta \]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[ A = \frac{1}{4} \int_{0}^{2\pi} \sin^2(2\Theta) \, d\Theta \]<br /><br />Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica \( \sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} \):<br /><br />\[ \sin^2(2\Theta) = \frac{1 - \cos(4\Theta)}{2} \]<br /><br />Substituindo na integral, temos:<br /><br />\[ A = \frac{1}{4} \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos(4\Theta)}{2} \, d\Theta \]<br /><br />\[ A = \frac{1}{8} \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos(4\Theta)) \, d\Theta \]<br /><br />Dividimos a integral em duas partes:<br /><br />\[ A = \frac{1}{8} \left( \int_{0}^{2\pi} 1 \, d\Theta - \int_{0}^{2\pi} \cos(4\Theta) \, d\Theta \right) \]<br /><br />A primeira integral é simples:<br /><br />\[ \int_{0}^{2\pi} 1 \, d\Theta = 2\pi \]<br /><br />Para a segunda integral, sabemos que \( \cos(4\Theta) \) é uma função periódica com período \( \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \). A integral de \( \cos(4\Theta) \) de 0 a \( 2\pi \) é zero, pois é uma função com período \( \frac{\pi}{2} \) e a integral de uma função periódica sobre um intervalo maior que o período é zero.<br /><br />Portanto, a integral da segunda parte é zero:<br /><br />\[ \int_{0}^{2\pi} \cos(4\Theta) \, d\Theta = 0 \]<br /><br />Então, a área total é:<br /><br />\[ A = \frac{1}{8} \left( 2\pi - 0 \right) = \frac{\pi}{4} \]<br /><br />Portanto, a área total do interior da rosa \( r = \sin(2\Theta) \) é \( \frac{\pi}{4} \).