lim _(xarrow 0^+)x^sqrt (x)

Para resolver essa limitação, podemos usar a propriedade de potência e logaritmo. Vamos reescrever a expressão usando logaritmo natural:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0^{+}}x^{\sqrt {x}} = \lim _{x\rightarrow 0^{+}} e^{\sqrt{x} \ln x}$<br /><br />Agora, vamos analisar o comportamento de $\sqrt{x} \ln x$ quando $x$ se aproxima de 0 pelo lado positivo. Podemos usar a substituição de variável para simplificar a expressão:<br /><br />Seja $t = \sqrt{x}$, então $x = t^2$ e quando $x \rightarrow 0^+$, $t \rightarrow 0^+$. Substituindo na expressão, temos:<br /><br />$\lim _{t\rightarrow 0^{+}} e^{t \ln (t^2)} = \lim _{t\rightarrow 0^{+}} e^{2t \ln t}$<br /><br />Agora, precisamos analisar o comportamento de $2t \ln t$ quando $t$ se aproxima de 0 pelo lado positivo. Sabemos que $\ln t$ se aproxima de $-\infty$ quando $t$ se aproxima de 0 pelo lado positivo. Portanto, podemos usar a propriedade de logaritmo para simplificar a expressão:<br /><br />$2t \ln t = \ln t^2 = \ln x$<br /><br />Agora, podemos substituir de volta na expressão original:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0^{+}} e^{\sqrt{x} \ln x} = \lim _{x\rightarrow 0^{+}} e^{\ln x} = x$<br /><br />Portanto, a limitação é igual a 0.