Questão 05 Analise a série abaixo: sum _(z=1)^+infty (2^z)/(z!) Pode-se afirmar que a soma da série indicada converge para

Para analisar a série \(\sum_{z=1}^{+\infty} \frac{2^z}{z!}\), podemos compará-la com a série da função exponencial \(e^x\).<br /><br />A série de Taylor para \(e^x\) é dada por:<br />\[ e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} \]<br /><br />Se substituirmos \(x = 2\), obtemos:<br />\[ e^2 = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n}{n!} \]<br /><br />No entanto, a série que estamos analisando começa em \(z = 1\) em vez de \(z = 0\). Portanto, precisamos subtrair o termo correspondente a \(z = 0\) da série completa.<br /><br />A série completa é:<br />\[ \sum_{z=0}^{+\infty} \frac{2^z}{z!} = e^2 \]<br /><br />O termo correspondente a \(z = 0\) é:<br />\[ \frac{2^0}{0!} = 1 \]<br /><br />Portanto, a série original pode ser escrita como:<br />\[ \sum_{z=1}^{+\infty} \frac{2^z}{z!} = e^2 - 1 \]<br /><br />Sabemos que \(e^2\) é aproximadamente 7.38905609893, então:<br /><br />\[ e^2 - 1 \approx 7.38905609893 - 1 = 6.38905609893 \]<br /><br />Assim, podemos afirmar que a soma da série indicada converge para \(e^2 - 1\).