Seia y=e^xcosx Verifique que (d^2y)/(dx^2)-2(dy)/(dx)+2y=0

Para verificar a igualdade dada, precisamos calcular as derivadas de $y$ em relação a $x$ e substituí-las na equação.<br /><br />Primeiro, calculamos a primeira derivada de $y$ em relação a $x$:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x}\cos x)$<br /><br />Usando a regra do produto, temos:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = e^{x}\cos x - e^{x}\sin x$<br /><br />Agora, calculamos a segunda derivada de $y$ em relação a $x$:<br /><br />$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(e^{x}\cos x - e^{x}\sin x)$<br /><br />Novamente, aplicamos a regra do produto:<br /><br />$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{x}\cos x - e^{x}\sin x - e^{x}\sin x - e^{x}\cos x$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -2e^{x}\sin x$<br /><br />Agora, substituímos $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$, $\frac{dy}{dx}$ e $y$ na equação dada:<br /><br />$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = -2e^{x}\sin x - 2(e^{x}\cos x - e^{x}\sin x) + 2e^{x}\cos x$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$-2e^{x}\sin x - 2e^{x}\cos x + 2e^{x}\sin x + 2e^{x}\cos x + 2e^{x}\cos x = 0$<br /><br />Portanto, a igualdade é verdadeira.