6. Usando as propriedades das proporções, determine xe y em cada um dos sistemas a seguir. square a) ) x+y=60 (x)/(y)=(2)/(3) C) ) x-3y=-21 (x)/(y)=(5)/(4) square b) ) 2x-y=6 (x)/(y)=(4)/(5) d) ) a^2-b^2=336 (a)/(b)=(5)/(2) agt 0ebgt 0 square square

Vamos resolver cada um dos sistemas de equações usando as propriedades das proporções.<br /><br />### a) <br />Sistema de equações:<br />\[<br />\begin{cases}<br />x + y = 60 \\<br />\frac{x}{y} = \frac{2}{3}<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Primeiro, reescrevemos a segunda equação na forma de uma proporção:<br />\[<br />x = \frac{2}{3}y<br />\]<br /><br />Substituímos \(x\) na primeira equação:<br />\[<br />\frac{2}{3}y + y = 60<br />\]<br /><br />Multiplicamos todos os termos por 3 para eliminar o denominador:<br />\[<br />2y + 3y = 180<br />\]<br /><br />Somamos os termos semelhantes:<br />\[<br />5y = 180<br />\]<br /><br />Dividimos ambos os lados por 5:<br />\[<br />y = 36<br />\]<br /><br />Agora, substituímos \(y = 36\) na segunda equação para encontrar \(x\):<br />\[<br />x = \frac{2}{3} \cdot 36 = 24<br />\]<br /><br />Portanto, a solução é:<br />\[<br />x = 24, \quad y = 36<br />\]<br /><br />### b) <br />Sistema de equações:<br />\[<br />\begin{cases}<br />2x - y = 6 \\<br />\frac{x}{y} = \frac{4}{5}<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Reescrevemos a segunda equação na forma de uma proporção:<br />\[<br />x = \frac{4}{5}y<br />\]<br /><br />Substituímos \(x\) na primeira equação:<br />\[<br />2 \left(\frac{4}{5}y\right) - y = 6<br />\]<br /><br />Multiplicamos todos os termos por 5 para eliminar o denominador:<br />\[<br />8y - 5y = 30<br />\]<br /><br />Somamos os termos semelhantes:<br />\[<br />3y = 30<br />\]<br /><br />Dividimos ambos os lados por 3:<br />\[<br />y = 10<br />\]<br /><br />Agora, substituímos \(y = 10\) na segunda equação para encontrar \(x\):<br />\[<br />x = \frac{4}{5} \cdot 10 = 8<br />\]<br /><br />Portanto, a solução é:<br />\[<br />x = 8, \quad y = 10<br />\]<br /><br />### c) <br />Sistema de equações:<br />\[<br />\begin{cases}<br />x - 3y = -21 \\<br />\frac{x}{y} = \frac{5}{4}<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Reescrevemos a segunda equação na forma de uma proporção:<br />\[<br />x = \frac{5}{4}y<br />\]<br /><br />Substituímos \(x\) na primeira equação:<br />\[<br />\frac{5}{4}y - 3y = -21<br />\]<br /><br />Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar o denominador:<br />\[<br />5y - 12y = -84<br />\]<br /><br />Somamos os termos semelhantes:<br />\[<br />-7y = -84<br />\]<br /><br />Dividimos ambos os lados por -7:<br />\[<br />y = 12<br />\]<br /><br />Agora, substituímos \(y = 12\) na segunda equação para encontrar \(x\):<br />\[<br />x = \frac{5}{4} \cdot 12 = 15<br />\]<br /><br />Portanto, a solução é:<br />\[<br />x = 15, \quad y = 12<br />\]<br /><br />### d) <br />Sistema de equações:<br />\[<br />\begin{cases}<br />a^2 - b^2 = 336 \\<br />\frac{a}{b} = \frac{5}{2}<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Reescrevemos a segunda equação na forma de uma proporção:<br />\[<br />a = \frac{5}{2}b<br />\]<br /><br />Substituímos \(a\) na primeira equação:<br />\[<br />\left(\frac{5}{2}b\right)^2 - b^2 = 336<br />\]<br /><br />Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar o denominador:<br />\[<br />25b^2 - 4b^2 = 1344<br />\]<br /><br />Somamos os termos semelhantes:<br />\[<br />21b^2 = 1344<br />\]<br /><br />Dividimos ambos os lados por 21:<br />\[<br />b^2 = 64<br />\]<br /><br />Tomamos a raiz quadrada de ambos os lados:<br />\[<br />b = 8<br />\]<br /><br />Agora, substituímos \(b = 8\) na segunda equação para encontrar \(a\):<br />\[<br />a = \frac{5}{2} \cdot