1. (3,0 pontos) Determine: a) A transformação linear R^3arrow R^2 tal que T(1,-1,0)=(1,1),T(0,1,1) =(2,2) T(0,0,1)=(3,3)

Para determinar a transformação linear \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) dada pelas condições \( T(1, -1, 0) = (1, 1) \), \( T(0, 1, 1) = (2, 2) \) e \( T(0, 0, 1) = (3, 3) \), precisamos encontrar a matriz de transformação \( A \) tal que \( T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} \) para qualquer vetor \( \mathbf{x} \) em \( \mathbb{R}^3 \).<br /><br />Primeiro, representamos os vetores dados como colunas da matriz \( A \):<br /><br />\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]<br /><br />Agora, verificamos se essa matriz transforma os vetores dados conforme as condições dadas:<br /><br />1. Para \( T(1, -1, 0) = (1, 1) \):<br />\[ A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2 \\ 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \]<br /><br />2. Para \( T(0, 1, 1) = (2, 2) \):<br />\[ A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \]<br /><br />3. Para \( T(0, 0, 1) = (3, 3) \):<br />\[ A \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \]<br /><br />Portanto, a matriz \( A \) que transforma os vetores dados conforme as condições dadas é:<br /><br />\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]<br /><br />Então, a transformação linear \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) é dada por:<br /><br />\[ T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + 2x_2 + 3x_3 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 \end{pmatrix} \]<br /><br />Note que a segunda linha da matriz \( A \) é uma múltipla da primeira linha, o que significa que a transformação \( T \) não é linearmente independente e, portanto, não é uma transformação linear válida.