Seja ABCD um trapézio de base maior AB , base menor CD, ângulos agudos medindo 45^circ e diagonais AC e BD. Se a altura do trapézio mede 8 cm e a medida de CD é 6 cm, qual é a área do triângulo ABC?

Para encontrar a área do triângulo ABC, podemos usar a fórmula da área de um triângulo, que é dada por:<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} \]<br /><br />No caso do triângulo ABC, a base é a medida da base maior AB e a altura é a medida da altura do trapézio.<br /><br />Para encontrar a medida da base maior AB, podemos usar o fato de que o trapézio é isósceles, ou seja, as duas diagonais são iguais. Portanto, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a medida de AB.<br /><br />Considere o triângulo retângulo formado pela altura do trapézio, metade da base maior AB e a diagonal AC. Podemos escrever:<br /><br />\[ AC^2 = AB^2 + 8^2 \]<br /><br />Como AC é igual a BD, podemos escrever:<br /><br />\[ BD^2 = AB^2 + 8^2 \]<br /><br />Como CD é metade da base menor, temos:<br /><br />\[ CD = \frac{AB}{2} \]<br /><br />Substituindo CD por 6 cm, temos:<br /><br />\[ 6 = \frac{AB}{2} \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos:<br /><br />\[ AB = 12 \, \text{cm} \]<br /><br />Agora podemos calcular a área do triângulo ABC:<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 \, \text{cm}^2 \]<br /><br />Portanto, a área do triângulo ABC é 48 cm².