19. Dado que as raizes do polinômio p(x)=x^3+ax^2+bx+c sao 0,1 e -1 , calcule p(2)

Para calcular \( p(2) \), primeiro precisamos determinar os coeficientes \( a \), \( b \) e \( c \) do polinômio \( p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) usando as raízes fornecidas: 0, 1 e -1.<br /><br />Sabemos que se \( r \) é uma raiz do polinômio, então \( p(r) = 0 \). Portanto, substituindo as raízes na equação do polinômio, temos:<br /><br />1. Para \( x = 0 \):<br />\[ p(0) = 0^3 + a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c = 0 \]<br /><br />2. Para \( x = 1 \):<br />\[ p(1) = 1^3 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 1 + a + b + 0 = 1 + a + b \]<br /><br />3. Para \( x = -1 \):<br />\[ p(-1) = (-1)^3 + a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = -1 + a - b + 0 = -1 + a - b \]<br /><br />Agora, substituímos esses valores na equação do polinômio para encontrar \( a \) e \( b \):<br /><br />\[ \begin{cases}<br />c = 0 \\<br />1 + a + b = 0 \\<br />-1 + a - b = 0<br />\end{cases} \]<br /><br />Resolvendo o sistema de equações:<br /><br />1. \( c = 0 \)<br />2. \( 1 + a + b = 0 \) \(\Rightarrow a + b = -1 \)<br />3. \( -1 + a - b = 0 \) \(\Rightarrow a - b = 1 \)<br /><br />Somando as duas equações que envolvem \( a \) e \( b \):<br /><br />\[ (a + b) + (a - b) = -1 + 1 \]<br />\[ 2a = 0 \]<br />\[ a = 0 \]<br /><br />Substituindo \( a = 0 \) na segunda equação:<br /><br />\[ 0 + b = -1 \]<br />\[ b = -1 \]<br /><br />Portanto, os coeficientes são \( a = 0 \), \( b = -1 \) e \( c = 0 \). O polinômio é:<br /><br />\[ p(x) = x^3 - x \]<br /><br />Agora, calculamos \( p(2) \):<br /><br />\[ p(2) = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 \]<br /><br />Portanto, \( p(2) = 6 \).