Calcule a integral indepinida d. int cos ^2(x) d x

Para calcular a integral indefinida \( \int \cos ^{2}(x) d x \), podemos usar a identidade trigonométrica \( \cos ^{2}(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \). Substituindo essa identidade na integral, temos:<br /><br />\[ \int \cos ^{2}(x) d x = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} d x \]<br /><br />Podemos separar essa integral em duas partes:<br /><br />\[ \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} d x = \frac{1}{2} \int 1 d x + \frac{1}{2} \int \cos(2x) d x \]<br /><br />A primeira parte é simples:<br /><br />\[ \frac{1}{2} \int 1 d x = \frac{1}{2} x \]<br /><br />Para a segunda parte, podemos usar a substituição simples. Seja \( u = 2x \), então \( du = 2 dx \) ou \( dx = \frac{du}{2} \). Substituindo na integral, temos:<br /><br />\[ \frac{1}{2} \int \cos(2x) d x = \frac{1}{2} \int \cos(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{4} \int \cos(u) du \]<br /><br />A integral de \( \cos(u) \) é \( \sin(u) \), então temos:<br /><br />\[ \frac{1}{4} \int \cos(u) du = \frac{1}{4} \sin(u) = \frac{1}{4} \sin(2x) \]<br /><br />Somando as duas partes, obtemos:<br /><br />\[ \int \cos ^{2}(x) d x = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \]<br /><br />onde \( C \) é a constante de integração.