Seja a transformação linear L: R^3arrow R^2 ,com L(x,y,z)=(x+y,2x+3z) Determine: a) Seu núcleo. b) Lé injetiva ? Por quê?

Para determinar o núcleo da transformação linear L, precisamos encontrar todos os vetores (x, y, z) em R^3 que são mapeados para o vetor zero (0, 0) em R^2. Em outras palavras, precisamos resolver a equação L(x, y, z) = (0, 0).<br /><br />Dada a definição de L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z), podemos escrever a equação como:<br /><br />x + y = 0<br />2x + 3z = 0<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos que o vetor nulo é (0, 0, 0). Portanto, o núcleo de L é {(0, 0, 0)}.<br /><br />Para determinar se a transformação L é injetiva, precisamos verificar se cada vetor em R^2 é imagem de exatamente um vetor em R^3. Em outras palavras, precisamos verificar se a função L é uma função injetora.<br /><br />Podemos observar que a primeira coordenada da imagem de L é x + y e a segunda coordenada é 2x + 3z. Podemos ver que é possível obter o mesmo valor para a primeira coordenada da imagem de L a partir de diferentes combinações de valores de x, y e z. Por exemplo, se tivermos x = 1 e y = -1, obtemos a mesma primeira coordenada da imagem de L que obtemos se tivermos x = 2 e y = -2. Portanto, a transformação L não é injetiva.<br /><br />Em resumo:<br />a) O núcleo de L é {(0, 0, 0)}.<br />b) A transformação L não é injetiva, pois não é possível obter uma imagem única para cada vetor em R^2.