4. Calcule int _(gamma )xdx+dy+2dz onde yé a interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano z=2x+2y-1 ; o sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de gamma (t) , no plano xy, caminhe no sentido anti-horário.

Para calcular a integral de linha \(\int_{\gamma} (x \, dx + dy + 2 \, dz)\), onde \(\gamma\) é a interseção do paraboloide \(z = x^2 + y^2\) com o plano \(z = 2x + 2y - 1\), precisamos seguir alguns passos:<br /><br />1. **Encontrar as curvas de interseção \(\gamma\)**:<br /> As curvas de interseção são as soluções do sistema de equações:<br /> \[<br /> \begin{cases}<br /> z = x^2 + y^2 \\<br /> z = 2x + 2y - 1<br /> \end{cases}<br /> \]<br /> Igualando as duas equações para \(z\):<br /> \[<br /> x^2 + y^2 = 2x + 2y - 1<br /> \]<br /> Reorganizando:<br /> \[<br /> x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0<br /> \]<br /> Esta é a equação de uma circunferência com centro em \((1, 1)\) e raio \(\sqrt{1 - 1} = 0\). Portanto, a interseção é uma ponto único \((1, 1, 2)\).<br /><br />2. **Parametrizar a curva \(\gamma\)**:<br /> Como \(\gamma\) é um ponto único, podemos parametrizá-lo como uma linha reta. Uma parametrização simples é:<br /> \[<br /> \gamma(t) = (1, 1, 2), \quad t \in [0, 1]<br /> \]<br /><br />3. **Calcular a integral de linha**:<br /> A integral de linha ao longo de \(\gamma\) é:<br /> \[<br /> \int_{\gamma} (x \, dx + dy + 2 \, dz)<br /> \]<br /> Substituindo \(x = 1\), \(y = 1\), e \(dz = 0\) (pois \(z\) é constante):<br /> \[<br /> \int_{0}^{1} (1 \, d(1) + d(1) + 2 \, d(2))<br /> \]<br /> Simplificando:<br /> \[<br /> \int_{0}^{1} (1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0) \, dt = \int_{0}^{1} 0 \, dt = 0<br /> \]<br /><br />Portanto, a integral de linha \(\int_{\gamma} (x \, dx + dy + 2 \, dz)\) é igual a \(0\).