4 Determine a equação da reta s tangente à circunferência a: x^2+y^2-4x+2y=0 traçada pelo ponto T(1,1)

Para determinar a equação da reta tangente à circunferência dada pelo ponto T(1,1), precisamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. Escrever a equação da circunferência em forma padrão: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, onde (h, k) é o centro da circunferência e r é o raio.<br /><br />A equação da circunferência dada é $x^{2}+y^{2}-4x+2y=0$. Podemos reescrevê-la em forma padrão completando o quadrado:<br /><br />$(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) = 0$<br /><br />$(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 = 0$<br /><br />$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5$<br /><br />Portanto, a circunferência tem centro em (2, -1) e raio $\sqrt{5}$.<br /><br />2. Calcular a derivada da equação da circunferência em relação a x e y:<br /><br />$\frac{d}{dx}((x - 2)^2 + (y + 1)^2) = 2(x - 2)$<br /><br />$\frac{d}{dy}((x - 2)^2 + (y + 1)^2) = 2(y + 1)$<br /><br />3. Substituir as coordenadas do ponto T(1,1) nas derivadas:<br /><br />$\frac{d}{dx}((1 - 2)^2 + (1 + 1)^2) = 2(1 - 2) = -2$<br /><br />$\frac{d}{dy}((1 - 2)^2 + (1 + 1)^2) = 2(1 + 1) = 4$<br /><br />4. Calcular a equação da reta tangente usando a fórmula da reta tangente à circunferência:<br /><br />$2(x - 2)(x - 1) + 2(y + 1)(y - 1) = 5$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$2(x - 2)(x - 1) + 2(y + 1)(y - 1) = 5$<br /><br />$2(x^2 - x - 2x + 2) + 2(y^2 - 1) = 5$<br /><br />$2(x^2 - 3x + 2) + 2(y^2 - 1) = 5$<br /><br />$2x^2 - 6x + 4 + 2y^2 - 2 = 5$<br /><br />$2x^2 + 2y^2 - 6x - 2 = 5$<br /><br />$2x^2 + 2y^2 - 6x - 7 = 0$<br /><br />Portanto, a equação da reta tangente à circunferência traçada pelo ponto T(1,1) é $2x^2 + 2y^2 - 6x - 7 = 0$.