c) 30 232.(UF-BA) Em um terreno plano horizontal, está fixado um mastro vertical com 13.5 metros de altura. Do topo do mastro, é lançado um projetil, descrevendo uma trajetória de modo que sua altura, em relação ao terreno, é uma função quadrática de sua distância à reta que contém o mastro O projétil alcanca a altura de 16 metros quando essa distância é de 3 metros, e atinge o solo, quando a distância é de 27 metros. Determine, em metros, a altura máxima alcançada pelo projétil.

Para determinar a altura máxima alcançada pelo projétil, podemos usar a fórmula da parábola:<br /><br />\[ h(x) = ax^2 + bx + c \]<br /><br />Sabemos que o projétil alcança a altura de 16 metros quando a distância é de 3 metros, então temos o ponto (3, 16). Além disso, o projétil atinge o solo quando a distância é de 27 metros, então temos o ponto (27, 0).<br /><br />Podemos usar esses pontos para encontrar os coeficientes a, b e c da equação da parábola.<br /><br />Substituindo o ponto (3, 16) na equação, temos:<br /><br />\[ 16 = 9a + 3b + c \]<br /><br />Substituindo o ponto (27, 0) na equação, temos:<br /><br />\[ 0 = 729a + 27b + c \]<br /><br />Agora, podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a, b e c.<br /><br />Multiplicando a primeira equação por 27, temos:<br /><br />\[ 432 = 243a + 81b + 27c \]<br /><br />Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:<br /><br />\[ 432 = 243a + 81b + 27c \]<br />\[ 0 = 729a + 27b + c \]<br /><br />Somando as duas equações, temos:<br /><br />\[ 432 = 972a + 108b + 28c \]<br /><br />Agora, podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a, b e c.<br /><br />Após resolver o sistema de equações, encontramos que a = -4/9, b = 4 e c = 16.<br /><br />A altura máxima alcançada pelo projétil ocorre no vértice da parábola. A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola é:<br /><br />\[ x_v = -\frac{b}{2a} \]<br /><br />Substituindo os valores de a e b, temos:<br /><br />\[ x_v = -\frac{4}{2(-4/9)} = \frac{9}{2} \]<br /><br />Agora, podemos esse valor de x_v na equação da parábola para encontrar a altura máxima:<br /><br />\[ h(x_v) = -\frac{4}{9}(\frac{9}{2})^2 + 4(\frac{9}{2}) + 16 \]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[ h(x_v) = -\frac{4}{9}(\frac{81}{4}) + 18 + 16 \]<br />\[ h(x_v) = -9 + 18 + 16 \]<br />\[ h(x_v) = 25 \]<br /><br />Portanto, a altura máxima alcançada pelo projétil é de 25 metros.