Demonstrar por "indução matemática": a+acdot q+acdot q^2+... +acdot q^n=(a(q^n+1-1))/(q-1) vee nin N

Para demonstrar a fórmula dada por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />Passo 1: Base da indução<br />Quando n = 0, a fórmula se torna:<br />a = a<br />O que é verdadeiro.<br /><br />Passo 2: Passo da indução<br />Supomos que a fórmula seja verdadeira para algum inteiro k, ou seja, supomos que:<br />a + a·q + a·q^2 +... + a·q^k = (a·q^(k+1) - a) / (q - 1)<br /><br />Queremos mostrar que a fórmula também é verdadeira para k + 1, ou seja, queremos mostrar que:<br />a + a·q + a·q^2 +... + a·q^k + a·q^(k+1) = (a·q^(k+2) - a) / (q - 1)<br /><br />Podemos reescrever a expressão do lado esquerdo da equação como:<br />a + a·q + a·q^2 +... + a·q^k + a·q^(k+1) = (a·q^(k+1) - a) / (q - 1) + a·q^(k+1)<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br />a + a·q + a·q^2 +... + a·q^k + a·q^(k+1) = (a·q^(k+1) - a + a·q^(k+1)) / (q - 1)<br />a + a·q + a·q^2 +... + a·q^k + a·q^(k+1) = (2a·q^(k+1) - a) / (q - 1)<br /><br />Agora, podemos simplificar ainda mais a expressão:<br />a + a·q + a·q^2 +... + a·q^k + a·q^(k+1) = a·(2q^(k+1) - 1) / (q - 1)<br /><br />Multiplicando ambos os lados da equação por (q - 1), temos:<br />a(q - 1) + a·q + a·q^2 +... + a·q^k + a·q^(k+1) = a·(2q^(k+1) - 1)<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br />a(q^(k+2) - q) + a·q + a·q^2 +... + a·q^k = a·(2q^(k+1) - 1)<br /><br />Agora, podemos reescrever a expressão do lado esquerdo da equação como:<br />a·q^(k+2) + a·q^(k+1) + a·q^k +... + a·q^2 + a·q + a = a·(2q^(k+1) - 1)<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br />a·q^(k+2) + a·q^(k+1) + a·q^k +... + a·q^2 + a·q + a = a·(2q^(k+1) - 1)<br /><br />Agora, podemos reescrever a expressão do lado direito da equação como:<br />a·(2q^(k+1) - 1) = a·(2q^(k+1) - 1)<br /><br />Portanto, a fórmula é verdadeira para k + 1, se é verdadeira para k.<br /><br />Concluímos que a fórmula é verdadeira para todos os números naturais n.