5, Qual é a distância entre o ponto de coordenadas (2,-1) e a reta y=(-3x)/(4)+1 7 a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3

Para encontrar a distância entre um ponto e uma reta, podemos usar a fórmula da distância. A fórmula é dada por:<br /><br />\[ d = \frac{{\left| Ax_0 + By_0 + C \right|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}} \]<br /><br />Onde \( (x_0, y_0) \) são as coordenadas do ponto e \( Ax + By + C = 0 \) é a equação da reta.<br /><br />No caso da reta \( y = \frac{{-3x}}{4} + 1 \), podemos reescrever a equação na forma padrão \( Ax + By + C = 0 \) multiplicando ambos os lados por 4:<br /><br />\[ 4y + 3x - 4 = 0 \]<br /><br />Comparando com a fórmula da distância, temos:<br /><br />\[ A = 3, B = 4, C = -4 \]<br /><br />Substituindo os valores na fórmula da distância, temos:<br /><br />\[ d = \frac{{\left| 3(2) + 4(-1) - 4 \right|}}{{\sqrt{{3^2 + 4^2}}}} \]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\[ d = \frac{{\left| 6 - 4 - 4 \right|}}{{\sqrt{{9 + 16}}}} \]<br /><br />\[ d = \frac{{\left| -2 \right|}}{{\sqrt{{25}}}} \]<br /><br />\[ d = \frac{{2}}{{5}} \]<br /><br />Portanto, a distância entre o ponto de coordenadas \( (2, -1) \) e a reta \( y = \frac{{-3x}}{4} + 1 \) é \( \frac{{2}}{{5}} \).<br /><br />A resposta correta é a opção a) \( \frac{{1}}{{5}} \).