7.41. Encontre a representação matricial das transformações lineares em relação à base usual do R^n (i) F:R^3arrow R^2 definida por F(x,y,z)=(2x-4y+9z,5x+3y-2z) (ii) F:R^2arrow R^4 definida por F(x,y)=(3x+4y,5x-2y,x+7y,4x) (iii) F: R^4arrow R definida por F(x,y,s,t)=2x+3y-7s-t (iv) F:Rarrow R^2 definida por F(x)=(3x,5x)

Para encontrar a representação matricial das transformações lineares em relação à base usual do $R^{n}$, podemos usar a definição de uma matriz de transformação linear. A matriz de uma transformação linear $F$ em relação à base usual é obtida aplicando $F$ aos vetores da base e escrevendo os resultados como colunas da matriz.<br /><br />(i) Para a transformação $F:R^{3}\rightarrow R^{2}$ definida por $F(x,y,z)=(2x-4y+9z,5x+3y-2z)$, podemos aplicar $F$ aos vetores da base usual de $R^{3}$, que são $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$. Aplicando $F$ a esses vetores, obtemos:<br /><br />$F(1,0,0) = (2,5)$<br />$F(0,1,0) = (-4,3)$<br />$F(0,0,1) = (9,-2)$<br /><br />Portanto, a representação matricial de $F$ em relação à base usual de $R^{3}$ é:<br /><br />$\begin{pmatrix} 2 & -4 & 9 \\ 5 & 3 & -2 \end{pmatrix}$<br /><br />(ii) Para a transformação $F:R^{2}\rightarrow R^{4}$ definida por $F(x,y)=(3x+4y,5x-2y,x+7y,4x)$, podemos aplicar $F$ aos vetores da base usual de $R^{2}$, que são $(1,0)$ e $(0,1)$. Aplicando $F$ a esses vetores, obtemos:<br /><br />$F(1,0) = (3,5,1,4)$<br />$F(0,1) = (4,-2,7,0)$<br /><br />Portanto, a representação matricial de $F$ em relação à base usual de $R^{2}$ é:<br /><br />$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & -2 \\ 1 & 7 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$<br /><br />(iii) Para a transformação $F:R^{4}\rightarrow R$ definida por $F(x,y,s,t)=2x+3y-7s-t$, podemos aplicar $F$ aos vetores da base usual de $R^{4}$, que são $(1,0,0,0)$, $(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$ e $(0,0,0,1)$. Aplicando $F$ a esses vetores, obtemos:<br /><br />$F(1,0,0,0) = 2$<br />$F(0,1,0,0) = 3$<br />$F(0,0,1,0) = -7$<br />$F(0,0,0,1) = -1$<br /><br />Portanto, a representação matricial de $F$ em relação à base usual de $R^{4}$ é:<br /><br />$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$<br /><br />(iv) Para a transformação $F:R\rightarrow R^{2}$ definida por $F(x)=(3x,5x)$, podemos aplicar $F$ aos vetores da base usual de $R$, que é $(1)$. Aplicando $F$ a esse vetor, obtemos:<br /><br />$F(1) = (3,5)$<br /><br />Portanto, a representação matricial de $F$ em relação à base usual de $R$ é:<br /><br />$\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$