int (dx)/(0sqrt [3]((0+2x)^d))

Para resolver a integral dada, primeiro precisamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica. Temos:<br /><br />$\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(0+2x)^{d}}}$<br /><br />Podemos reescrever a expressão dentro da raiz cúbica como:<br /><br />$\int \frac{dx}{\sqrt[3]{2^d x^d}}$<br /><br />Agora, podemos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica:<br /><br />$\int \frac{dx}{2^{d/3} x^{d/3}}$<br /><br />Podemos separar a integral em duas partes:<br /><br />$\frac{1}{2^{d/3}} \int x^{-d/3} dx$<br /><br />Agora, podemos aplicar a regra de potência para integrar:<br /><br />$\frac{1}{2^{d/3}} \cdot \frac{x^{-d/3 + 1}}{-d/3 + 1} + C$<br /><br />Simplificando o expoente:<br /><br />$\frac{1}{2^{d/3}} \cdot \frac{x^{(3-d)/3}}{(3-d)/3} + C$<br /><br />Simplificando o denominador:<br /><br />$\frac{1}{2^{d/3}} \cdot \frac{3x^{(3-d)/3}}{3-d} + C$<br /><br />Portanto, a resposta final é:<br /><br />$\frac{3}{2^{d/3}(3-d)} x^{(3-d)/3} + C$<br /><br />onde C é a constante de integração.