Seja a transformação linear L: R^3arrow R^2 .com L(x,y,z)=(x+y,2x+3z) Determine: a) Seu núcleo. b) Lé injetiva Por quê?

a) Para determinar o núcleo da transformação linear L, precisamos encontrar todos os vetores (x, y, z) em R^3 que são mapeados para o vetor zero (0, 0) em R^2. <br /><br />Podemos escrever a transformação L como uma matriz:<br /><br />L: <br />| 1 0 0 | x | 0 |<br />| 0 2 3 | y | 0 |<br />| 1 0 0 | z | 0 |<br /><br />Para que o vetor (x, y, z) seja mapeado para o vetor zero (0, 0), devemos ter:<br /><br />x = 0<br />2y + 3z = 0<br /><br />Portanto, o núcleo da transformação L é dado por todos os vetores (x, y, z) que satisfazem essas condições. Em outras palavras, o núcleo é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) que são nulos em relação à transformação L.<br /><br />b) Para determinar se a transformação L é injetiva, precisamos verificar se cada vetor em R^2 é imagem de pelo menos um vetor em R^3. <br /><br />Podemos observar que a matriz da transformação L tem uma linha com coeficientes iguais a 0, o que implica que a transformação L não é injetiva. Isso significa que existem vetores em R^2 que não são imagem de nenhuma combinação linear dos vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) em R^3.<br /><br />Portanto, a transformação L não é injetiva.