16) Considere quexey são números inteiros positivos tais que 5x+3y=29 Assinale a alternativa que apresenta o valor máximo de y-x a) 5 b) 7 c) 6

Para encontrar o valor máximo de \( y - x \), vamos primeiro resolver a equação \( 5x + 3y = 29 \) para \( y \) em termos de \( x \):<br /><br />\[ 3y = 29 - 5x \]<br />\[ y = \frac{29 - 5x}{3} \]<br /><br />Para que \( y \) seja um número inteiro, \( 29 - 5x \) deve ser divisível por 3. Vamos encontrar os valores inteiros de \( x \) que satisfazem essa condição:<br /><br />\[ 29 - 5x \equiv 0 \pmod{3} \]<br />\[ 29 \equiv 2 \pmod{3} \]<br />\[ 5x \equiv 2 \pmod{3} \]<br /><br />Os possíveis valores de \( x \) são aqueles que, quando multiplicados por 5, resultam em um número congruente a 2 módulo 3. Esses valores são \( x \equiv 2 \pmod{3} \). Assim, \( x \) pode ser representado como \( x = 3k + 2 \), onde \( k \) é um inteiro.<br /><br />Substituindo \( x = 3k + 2 \) na equação \( y = \frac{29 - 5x}{3} \):<br /><br />\[ y = \frac{29 - 5(3k + 2)}{3} \]<br />\[ y = \frac{29 - 15k - 10}{3} \]<br />\[ y = \frac{19 - 15k}{3} \]<br /><br />Para que \( y \) seja um número inteiro, \( 19 - 15k \) deve ser divisível por 3. Vamos encontrar os valores inteiros de \( k \) que satisfazem essa condição:<br /><br />\[ 19 - 15k \equiv 0 \pmod{3} \]<br />\[ 19 \equiv 1 \pmod{3} \]<br />\[ 15k \equiv 1 \pmod{3} \]<br /><br />Os possíveis valores de \( k \) são aqueles que, quando multiplicados por 15, resultam em um número congruente a 1 módulo 3. Esses valores são \( k \equiv 1 \pmod{3} \). Assim, \( k \) pode ser representado como \( k = 3m + 1 \), onde \( m \) é um inteiro.<br /><br />Substituindo \( k = 3m + 1 \) na equação \( x = 3k + 2 \):<br /><br />\[ x = 3(3m + 1) + 2 \]<br />\[ x = 9m + 3 + 2 \]<br />\[ x = 9m + 5 \]<br /><br />Agora, substituindo \( x = 9m + 5 \) na equação \( y = \frac{29 - 5x}{3} \):<br /><br />\[ y = \frac{29 - 5(9m + 5)}{3} \]<br />\[ y = \frac{29 - 45m - 25}{3} \]<br />\[ y = \frac{4 - 45m}{3} \]<br /><br />Para que \( y \) seja um número inteiro, \( 4 - 45m \) deve ser divisível por 3. Vamos encontrar os valores inteiros de \( m \) que satisfazem essa condição:<br /><br />\[ 4 - 45m \equiv 0 \pmod{3} \]<br />\[ 4 \equiv 1 \pmod{3} \]<br />\[ 45m \equiv 1 \pmod{3} \]<br /><br />Os possíveis valores de \( m \) são aqueles que, quando multiplicados por 45, resultam em um número congruente a 1 módulo 3. Esses valores são \( m \equiv 1 \pmod{3} \). Assim, \( m \) pode ser representado como \( m = 3n + 1 \), onde \( n \) é um inteiro.<br /><br />Substituindo \( m = 3n + 1 \) na equação \( x = 9m + 5 \):<br /><br />\[ x = 9(3n + 1) + 5 \]<br />\[ x = 27n + 9 + 5 \]<br />\[ x = 27n + 14 \]<br /><br />Agora, substituindo \( x = 27n + 14 \) na equação \( y = \frac{29 - 5x}{3} \):<br /><br />\[ y = \frac{29 - 5(27n + 14)}{3}