No regime de juros simples, determinado capital investido durante 2,5 meses produziu o montante de R 12.000,00 0 mesmo capital investido durante 5 meses, no mesmo regime de juros ,produziu o montante de R 14.000,00 Nesse caso, é correto afirmar que esse capital é A) inferior a R 9.400,00 B) superior a R 9.400,00 e inferior a R 9.800,00 C) superior a R 9.800,00 e inferior a R 10.200,00 D) superior a R 10.200,00 e inferior a R 10.600,00 E) superior a R 10.600,00.

Para resolver esse problema, podemos usar a fórmula do montante em juros simples:<br /><br />\[ M = P + i \]<br /><br />Onde:<br />- \( M \) é o montante final,<br />- \( P \) é o capital inicial,<br />- \( i \) é o valor dos juros.<br /><br />Sabemos que o capital investido durante 2,5 meses produziu um montante de R$ 12.000,00 e que o mesmo capital investido durante 5 meses produziu um montante de R$ 14.000,00.<br /><br />Vamos calcular o valor dos juros para cada período:<br /><br />Para 2,5 meses:<br />\[ i_{2,5} = M_{2,5} - P \]<br />\[ i_{2,5} = 12.000 - P \]<br /><br />Para 5 meses:<br />\[ i_{5} = M_{5} - P \]<br />\[ i_{5} = 14.000 - P \]<br /><br />Sabemos que o valor dos juros é proporcional ao tempo. Então, podemos escrever a seguinte proporção:<br /><br />\[ \frac{i_{5}}{i_{2,5}} = \frac{5}{2,5} \]<br /><br />Substituindo os valores dos juros:<br /><br />\[ \frac{(14.000 - P)}{(12.000 - P)} = \frac{5}{2,5} \]<br /><br />Simplificando a proporção:<br /><br />\[ \frac{(14.000 - P)}{(12.000 - P)} = 2 \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por \( (12.000 - P) \):<br /><br />\[ 14.000 - P = 2(12.000 - P) \]<br /><br />Distribuindo o 2:<br /><br />\[ 14.000 - P = 24.000 - 2P \]<br /><br />Adicionando \( 2P \) em ambos os lados:<br /><br />\[ 14.000 - P + 2P = 24.000 \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ 14.000 + P = 24.000 \]<br /><br />Subtraindo 14.000 em ambos os lados:<br /><br />\[ P = 10.000 \]<br /><br />Agora que sabemos que o capital inicial é R$ 10.000,00, podemos calcular o valor dos juros para 2,5 meses:<br /><br />\[ i_{2,5} = 12.000 - 10.000 \]<br />\[ i_{2,5} = 2.000 \]<br /><br />Portanto, o valor dos juros para 2,5 meses é R$ 2.000,00.<br /><br />Agora, podemos calcular o valor dos juros para 5 meses:<br /><br />\[ i_{5} = 2 \times i_{2,5} \]<br />\[ i_{5} = 2 \times 2.000 \]<br />\[ i_{5} = 4.000 \]<br /><br />Portanto, o valor dos juros para 5 meses é R$ 4.000,00.<br /><br />Agora, podemos calcular o valor do capital inicial:<br /><br />\[ P = M - i \]<br />\[ P = 14.000 - 4.000 \]<br />\[ P = 10.000 \]<br /><br />Portanto, o valor do capital inicial é R$ 10.000,00.<br /><br />Agora, podemos calcular o valor do capital que está sendo perguntado:<br /><br />\[ P = 10.000 + i \]<br /><br />Sabemos que o valor dos juros para 2,5 meses é R$ 2.000,00, então podemos calcular o valor do capital:<br /><br />\[ P = 10.000 + 2.000 \]<br />\[ P = 12.000 \]<br /><br />Portanto, o valor do capital é R$ 12.000,00.<br /><br />A resposta correta é a opção D) superior a R$ 10.200,00 e inferior a R$ 10.600,00.