y=((3x^2+)/(x^2)+4^(2) hx(x,y)neq 0,0

Para encontrar a derivada parcial de \( y \) em relação a \( x \), podemos aplicar a regra do quociente. A função dada é:<br /><br />\[ y = \frac{3x^2 + 4}{x^2 + 16} \]<br /><br />Vamos calcular a derivada parcial \( \frac{\partial y}{\partial x} \):<br /><br />\[ \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{(3x^2 + 4)'(x^2 + 16) - (3x^2 + 4)(x^2 + 16)'}{(x^2 + 16)^2} \]<br /><br />Calculando as derivadas:<br /><br />\[ (3x^2 + 4)' = 6x \]<br />\[ (x^2 + 16)' = 2x \]<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula:<br /><br />\[ \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{(6x)(x^2 + 16) - (3x^2 + 4)(2x)}{(x^2 + 16)^2} \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{6x(x^2 + 16) - 2x(3x^2 + 4)}{(x^2 + 16)^2} \]<br />\[ \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{6x^3 + 96x - 6x^3 - 8x}{(x^2 + 16)^2} \]<br />\[ \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{88x}{(x^2 + 16)^2} \]<br /><br />Portanto, a derivada parcial de \( y \) em relação a \( x \) é:<br /><br />\[ \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{88x}{(x^2 + 16)^2} \]