In a (agt 0,aneq 1) calcules limites fundamentals There are to the the (b) lim _(xarrow 0)(x^2-x^2n)/(sin(x-sinx)) (Dica -cos2x=2sin^2x pontos) Investigue a continuidade da f(x)=x-vert xvert cosx=0 ourticula que se move segundes a equacao x=3e^2-t^3 segundas com posicao de uma (b) Onale o sen Qual (c) Qual 6 da particula ao terminar cada uni don I primein Qual e a velocidade diento depois dos 1 primeires segundas no ponto de abscissa x=2 5. (2,0 pontos) Calcule us equacoes das retas tangente e normal an grafication f(t)=sqrt ((2t+1)/(t-1))

Para calcular as equações das retas tangente e normal na graficação da função \( f(t) = \sqrt{\frac{2t+1}{t-1}} \), precisamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. Calcular a derivada da função \( f(t) \) para obter a inclinação da reta tangente.<br />2. Calcular o ponto de contato entre a reta tangente e a curva da função.<br />3. Calcular a inclinação da reta normal usando a fórmula \( m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m_{\text{tangente}}} \).<br />4. Calcular a equação da reta normal usando a fórmula da equação da reta \( y = mx + b \).<br /><br />Vamos calcular cada passo:<br /><br />1. Derivada da função \( f(t) \):<br />Para calcular a derivada da função \( f(t) \), podemos usar a regra do quociente e a regra da cadeia. A derivada da função \( f(t) \) é dada por:<br /><br />\( f'(t) = \frac{(2t+1)'(t-1) - (2t+1)(t-1)'}{(t-1)^2} \)<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\( f'(t) = \frac{2(t-1) - (2t+1)}{(t-1)^2} \)<br /><br />\( f'(t) = \frac{2t - 2 - 2t - 1}{(t-1)^2} \)<br /><br />\( f'(t) = \frac{-3}{(t-1)^2} \)<br /><br />Portanto, a derivada da função \( f(t) \) é \( f'(t) = \frac{-3}{(t-1)^2} \).<br /><br />2. Ponto de contato:<br />Para encontrar o ponto de contato entre a reta tangente e a curva da função, precisamos igualar a derivada da função ao valor da função em um ponto específico. Vamos escolher o ponto \( t = 2 \) como exemplo.<br /><br />Substituindo \( t = 2 \) na função \( f(t) \), temos:<br /><br />\( f(2) = \sqrt{\frac{2(2)+1}{2-1}} = \sqrt{\frac{5}{1}} = \sqrt{5} \)<br /><br />Portanto, o ponto de contato é \( (2, \sqrt{5}) \).<br /><br />3. Inclinação da reta normal:<br />A inclinação da reta normal é dada por \( m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m_{\text{tangente}}} \). Substituindo o valor da derivada da função \( f(t) \) na fórmula, temos:<br /><br />\( m_{\text{normal}} = -\frac{1}{\frac{-3}{(2-1)^2}} = \frac{1}{3} \)<br /><br />Portanto, a inclinação da reta normal é \( \frac{1}{3} \).<br /><br />4. Equação da reta normal:<br />Para calcular a equação da reta normal, usamos a fórmula da equação da reta \( y = mx + b \). Substituindo os valores da inclinação da reta normal e do ponto de contato na fórmula, temos:<br /><br />\( y - \sqrt{5} = \frac{1}{3}(x - 2) \)<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\( y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + \sqrt{5} \)<br /><br />Portanto, a equação da reta normal é \( y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + \sqrt{5} \).<br /><br />Resumindo, as equações das retas tangente e normal na graficação da função \( f(t) = \sqrt{\frac{2t+1}{t-1}} \) são:<br /><br />- Reta tangente: \( y = \frac{-3}{(x-1)^2}x + b \)<br />- Reta normal: \( y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + \sqrt{5} \)