5 Questão: Se um tanque cilíndrico comporta 100.000 litros de água, que podem escoar pela base do tanque em uma hora, então a Lei de Torricelli fornece o volume V de água que restou no tanque após t minutos como V(t)= 100.000(1-(1)/(60)t)^2,0leqslant tleqslant 60 Encontre a taxa de variação instantânea como uma função de t.

Para encontrar a taxa de variação instantânea da função \( V(t) \), precisamos calcular a derivada dessa função em relação a \( t \).<br /><br />Dada a função \( V(t) = 100.000(1 - \frac{1}{60}t)^2 \), podemos aplicar a regra da cadeia para calcular a derivada.<br /><br />Primeiro, vamos derivar a função \( (1 - \frac{1}{60}t)^2 \) em relação a \( t \). Usando a regra da cadeia, temos:<br /><br />\[<br />\frac{d}{dt} \left( (1 - \frac{1}{60}t)^2 \right) = 2(1 - \frac{1}{60}t) \cdot \frac{d}{dt} \left( 1 - \frac{1}{60}t \right)<br />\]<br /><br />Calculando a derivada de \( 1 - \frac{1}{60}t \) em relação a \( t \), temos:<br /><br />\[<br />\frac{d}{dt} \left( 1 - \frac{1}{60}t \right) = -\frac{1}{60}<br />\]<br /><br />Agora, substituindo esse resultado na fórmula anterior, temos:<br /><br />\[<br />\frac{d}{dt} \left( (1 - \frac{1}{60}t)^2 \right) = 2(1 - \frac{1}{60}t) \cdot \left( -\frac{1}{60} \right)<br />\]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[<br />\frac{d}{dt} \left( (1 - \frac{1}{60}t)^2 \right) = -\frac{1}{30}(1 - \frac{1}{60}t)<br />\]<br /><br />Agora, podemos calcular a derivada de \( V(t) \) em relação a \( t \) substituindo esse resultado na fórmula original:<br /><br />\[<br />V'(t) = 100.000 \cdot 2(1 - \frac{1}{60}t) \cdot \left( -\frac{1}{60} \right)<br />\]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[<br />V'(t) = -\frac{2000}{3}(1 - \frac{1}{60}t)<br />\]<br /><br />Portanto, a taxa de variação instantânea da função \( V(t) \) em relação a \( t \) é dada por:<br /><br />\[<br />V'(t) = -\frac{2000}{3}(1 - \frac{1}{60}t)<br />\]