lim _(xarrow 2)(sqrt (3x-2)-2)/(sqrt (4x+1)-3)

Para resolver o limite dado, podemos usar a técnica de racionalização do denominador. Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 2}\frac {\sqrt {3x-2}-2}{\sqrt {4x+1}-3} \cdot \frac {\sqrt {4x+1}+3}{\sqrt {4x+1}+3}$<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 2}\frac {(\sqrt {3x-2}-2)(\sqrt {4x+1}+3)}{4x+1-9}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 2}\frac {(\sqrt {3x-2}-2)(\sqrt {4x+1}+3)}{4x-8}$<br /><br />Agora, podemos simplificar ainda mais:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 2}\frac {(\sqrt {3x-2}-2)(\sqrt {4x+1}+3)}{4(x-2)}$<br /><br />Como o denominador tende a zero quando $x$ tende a 2, podemos usar a regra de L'Hôpital para calcular o limite:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 2}\frac {(\sqrt {3x-2}-2)(\sqrt {4x+1}+3)}{4(x-2)} = \lim _{x\rightarrow 2}\frac {\frac{d}{dx}[(\sqrt {3x-2}-2)(\sqrt {4x+1}+3)]}{\frac{d}{dx}[4(x-2)]}$<br /><br />Calculando as derivadas, obtemos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 2}\frac {\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}(\sqrt{4x+1}+3) + (\sqrt{3x-2}-2)\frac{2}{2\sqrt{4x+1}}}{4}$<br /><br />Substituindo $x=2$, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 2}\frac {\frac{3}{2\sqrt{3(2)-2}}(\sqrt{4(2)+1}+3) + (\sqrt{3(2)-2}-2)\frac{2}{2\sqrt{4(2)+1}}}{4} = \frac{3}{4}$<br /><br />Portanto, o limite é $\frac{3}{4}$.