d) (1)/(3)cdot log_(15)8+2cdot log_(15)2+log_(15)5-log_(15)9.000

Para resolver esta expresión, podemos utilizar las propiedades de los logaritmos. Primero, recordemos que:<br /><br />- $\log_{a}(b) + \log_{a}(c) = \log_{a}(bc)$<br />- $\log_{a}(b) - \log_{a}(c) = \log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)$<br />- $k \cdot \log_{a}(b) = \log_{a}(b^k)$<br /><br />Aplicando estas propiedades, podemos simplificar la expresión:<br /><br />$\frac{1}{3} \cdot \log_{15}(8) + 2 \cdot \log_{15}(2) + \log_{15}(5) - \log_{15}(9.000)$<br /><br />Primero, simplifiquemos cada término por separado:<br /><br />- $\frac{1}{3} \cdot \log_{15}(8) = \log_{15}(8^{\frac{1}{3}}) = \log_{15}(2)$<br />- $2 \cdot \log_{15}(2) = \log_{15}(2^2) = \log_{15}(4)$<br />- $\log_{15}(5)$<br />- $\log_{15}(9.000) = \log_{15}(3^2) = 2 \cdot \log_{15}(3)$<br /><br />Sustituyendo estos resultados en la expresión original, obtenemos:<br /><br />$\log_{15}(2) + \log_{15}(4) + \log_{15}(5) - 2 \cdot \log_{15}(3)$<br /><br />Aplicando la propiedad de suma de logaritmos, podemos combinar los términos:<br /><br />$\log_{15}(2 \cdot 4 \cdot 5) - 2 \cdot \log_{15}(3)$<br /><br />Simplificando, obtenemos:<br /><br />$\log_{15}(40) - \log_{15}(3^2)$<br /><br />Aplicando la propiedad de resta de logaritmos, podemos combinar los términos:<br /><br />$\log_{15}\left(\frac{40}{9}\right)$<br /><br />Por lo tanto, la expresión simplificada es $\log_{15}\left(\frac{40}{9}\right)$.