8 3e^xtgydx+(1-e^x)sec^2ydy=0

Para resolver a equação diferencial dada, podemos usar o método de separação de variáveis. Vamos reescrever a equação:<br /><br />\[3e^x \, \text{d}x + (1 - e^x) \sec^2(y) \, \text{d}y = 0\]<br /><br />Podemos separar as variáveis \(x\) e \(y\):<br /><br />\[3e^x \, \text{d}x = - (1 - e^x) \sec^2(y) \, \text{d}y\]<br /><br />Agora, integramos ambos os lados da equação:<br /><br />\[\int 3e^x \, \text{d}x = - \int (1 - e^x) \sec^2(y) \, \text{d}y\]<br /><br />A integral do lado esquerdo é simples:<br /><br />\[3 \int e^x \, \text{d}x = 3e^x + C_1\]<br /><br />Para a integral do lado direito, podemos usar a substituição. Seja \(u = e^x\), então \(\text{d}u = e^x \, \text{d}x\). Substituindo, temos:<br /><br />\[- \int (1 - u) \sec^2(y) \, \text{d}y\]<br /><br />Podemos separar a integral em duas partes:<br /><br />\[- \int \sec^2(y) \, \text{d}y + \int u \sec^2(y) \, \text{d}y\]<br /><br />A primeira integral é simples:<br /><br />\[- \int \sec^2(y) \, \text{d}y = - \tan(y) + C_2\]<br /><br />Para a segunda integral, podemos usar a substituição. Seja \(v = \sec(y)\), então \(\text{d}v = \sec(y) \tan(y) \, \text{d}y\). Substituindo, temos:<br /><br />\[\int v^2 \, \text{d}v\]<br /><br />Agora, integramos:<br /><br />\[\frac{1}{3} v^3 + C_3\]<br /><br />Substituindo de volta \(v = \sec(y)\), temos:<br /><br />\[\frac{1}{3} \sec^3(y) + C_3\]<br /><br />Portanto, a solução geral da equação diferencial é:<br /><br />\[3e^x = - \tan(y) + \frac{1}{3} \sec^3(y) + C\]<br /><br />onde \(C = C_1 + C_2 + C_3\) é uma constante de integração.