Integral por parts calcule: int x^2 sin x d x int u d v=u v-int v d u

Para calcular a integral por partes, precisamos identificar os termos \(u\) e \(dv\) na fórmula \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\).<br /><br />Para a integral dada \(\int x^{2} \sin x \, dx\), podemos escolher:<br /><br />\(u = x^{2}\) e \(dv = \sin x \, dx\).<br /><br />Agora, precisamos encontrar \(du\) e \(v\):<br /><br />\(du = 2x \, dx\) e \(v = -\cos x\).<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes:<br /><br />\(\int x^{2} \sin x \, dx = x^{2}(-\cos x) - \int (-\cos x)(2x) \, dx\).<br /><br />Simplificando:<br /><br />\(\int x^{2} \sin x \, dx = -x^{2} \cos x + 2 \int x \cos x \, dx\).<br /><br />Para calcular a integral restante \(\int x \cos x \, dx\), podemos usar integração por partes novamente. Escolhendo \(u = x\) e \(dv = \cos x \, dx\), temos:<br /><br />\(du = dx\) e \(v = \sin x\).<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes:<br /><br />\(\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx\).<br /><br />Simplificando:<br /><br />\(\int x \cos x \, dx = x \sin x - (-\cos x) = x \sin x + \cos x\).<br /><br />Substituindo na expressão anterior:<br /><br />\(\int x^{2} \sin x \, dx = -x^{2} \cos x + 2(x \sin x + \cos x)\).<br /><br />Simplificando ainda mais:<br /><br />\(\int x^{2} \sin x \, dx = -x^{2} \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x\).<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />\(\int x^{2} \sin x \, dx = -x^{2} \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x\).