Determine a área de uma pipa em que olado menor mede 5 cm, o lado maior mede 10 cm, e o ângulo entre esses lados mede 120^circ

Para determinar a área de uma pipa em que o lado menor mede 5 cm, o lado maior mede 10 cm, e o ângulo entre esses lados mede 120 graus, podemos usar a fórmula da área de um losango.<br /><br />A fórmula da área de um losango é dada por:<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{Diagonal}_1 \times \text{Diagonal}_2 \times \sin(\theta) \]<br /><br />Onde:<br />- \(\text{Diagonal}_1\) e \(\text{Diagonal}_2\) são os comprimentos das diagonais do losango.<br />- \(\theta\) é o ângulo entre as diagonais.<br /><br />Para calcular as diagonais, podemos usar o teorema de Pitágoras. Como o losango tem lados de 5 cm e 10 cm, podemos considerar um triângulo retângulo formado por metades desses lados.<br /><br />\[ \text{Metade do lado maior} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{cm} \]<br />\[ \text{Metade do lado menor} = \frac{5}{2} = 2.5 \, \text{cm} \]<br /><br />Usando o teorema de Pitágoras para encontrar a metade da diagonal maior:<br /><br />\[ \text{Metade da diagonal maior} = \sqrt{5^2 + 2.5^2} = \sqrt{25 + 6.25} = \sqrt{31.25} \approx 5.59 \, \text{cm} \]<br /><br />Agora, podemos calcular a área do losango:<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 \times \sin(120^\circ) \]<br /><br />Sabendo que \(\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12.5\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \]<br /><br />Portanto, a área da pipa é aproximadamente \(12.5\sqrt{3} \, \text{cm}^2\).