1. Calcule a integral imprópria , verificando se ela converge ou diverge: int _(1)^infty (1)/(x^2)dx

Para calcular a integral imprópria \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx\), vamos primeiro encontrar a integral definida correspondente e depois verificar o comportamento quando \(x\) tende ao infinito.<br /><br />Primeiro, calculamos a integral definida:<br /><br />\[<br />\int \frac{1}{x^2} \, dx<br />\]<br /><br />Sabemos que \(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\). A integral de \(x^{-2}\) é:<br /><br />\[<br />\int x^{-2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}<br />\]<br /><br />Port integral definida é:<br /><br />\[<br />\int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} + C<br />\]<br /><br />Agora, aplicamos os limites de integração da integral imprópria:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{b}<br />\]<br /><br />Substituímos os limites:<br /><br />\[<br />= \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{b} - (-\frac{1}{1}) \right)<br />\]<br /><br />\[<br />= \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{b} + 1 \right)<br />\]<br /><br />\[<br />= 1 - \lim_{b \to \infty} \frac{1}{b}<br />\]<br /><br />Sabemos que \(\lim_{b \to \infty} \frac{1}{b} = 0\):<br /><br />\[<br />= 1 - 0 = 1<br />\]<br /><br />Portanto, imprópria \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx\) converge e seu valor é 1.