63. Se a e b são números positivos , ache o valor máximo de f(x)=x^a(1-x)^b,0leqslant xleqslant 1

Para encontrar o valor máximo da função \( f(x) = x^a(1-x)^b \) no intervalo \( 0 \leq x \leq 1 \), podemos usar o método de derivadas para encontrar os pontos críticos.<br /><br />Primeiro, vamos calcular a derivada da função \( f(x) \) em relação a \('(x) = \frac{d}{dx} \left( x^a(1-x)^b \right) \]<br /><br />Usando a regra do produto, temos:<br /><br />\[ f'(x) = a x^{a-1}(1-x)^b - b x^a(1-x)^{b-1} \]<br /><br />Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:<br /><br />\[ a x^{a-1}(1-x)^b - b x^a(1-x)^{b-1} = 0 \]<br /><br />Fatorando \( x^{a-1}(1-x)^{b-1} \) da equação, temos:<br /><br />\[ x^{a-1}(1-x)^{b-1} \left( a(1-x) - b x \right) = 0 \]<br /><br />Isso nos dá duas equações:<br /><br />1. \( x^{a-1}(1-x)^{b-1} = 0 \)<br />2. \( a(1-x) - b x = 0 \)<br /><br />A primeira equação \( x^{a-1}(1-x)^{b-1} = 0 \) só pode ser verdadeira se \( x = 0 \) ou \( x = 1 \), mas \( x = 1 \) não satisfaz a segunda equação.<br /><br />Para a segunda equação \( a(1-x) - b x = 0 \), podemos resolver para \( x \):<br /><br />\[ a - ax - bx = 0 \]<br />\[ x(a + b) = a \]<br />\[ x = \frac{a}{a + b} \]<br /><br />Agora, temos três pontos a considerar: \( x = 0 \), \( x = 1 \) e \( x = \frac{a}{a + b} \).<br /><br />Para determinar qual desses pontos dá o valor máximo, podemos avaliar a função \( f(x) \) em cada um desses pontos:<br /><br />1. \( f(0) = 0^a(1-0)^b = 0 \)<br />2. \( f(1) = 1^a(1-1)^b = 0 \)<br />3. \( f\left(\frac{a}{a + b}\right) = \left(\frac{a}{a + b}\right)^a \left(1 - \frac{a}{a + b}\right)^b \)<br /><br />Para \( x = \frac{a}{a + b} \):<br /><br />\[ f\left(\frac{a}{a + b}\right) = \left(\frac{a}{a + b}\right)^a \left(\frac{b}{a + b}\right)^b \]<br /><br />Comparando os valores, notamos que \( f\left(\frac{a}{a + b}\right) \) é o maior quando \( a \) e \( b \) são positivos, pois a função é uma função crescente até um ponto e depois decrescente.<br /><br />Portanto, o valor máximo de \( f(x) \) é dado por:<br /><br />\[ f\left(\frac{a}{a + b}\right) = \left(\frac{a}{a + b}\right)^a \left(\frac{b}{a + b}\right)^b \]