5) Quantos anagramas diferentes podem ser formadas com as letras da palavra "CACHORRAL A", de modo que as duas letras "R " não ficam juntas?

Para resolver esse problema, precisamos calcular o número de anagramas diferentes que podem ser formados com as letras da palavra "CACHORRAL A", de modo que as duas letras "R" não fiquem juntas.<br /><br />Primeiro, vamos contar o número total de letras na palavra "CACHORRAL A". Temos 8 letras, sendo que a letra "A" se repete duas vezes.<br /><br />Agora, vamos calcular o número de anagramas possíveis sem considerar a restrição das letras "R" não ficarem juntas. Podemos usar a fórmula de derangements (ou permutações sem pontos fixos) para esse cálculo. A fórmula para derangements de n elementos é dada por:<br /><br />D(n) = n! * (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! +... + (-1)/n!)<br /><br />Aplicando essa fórmula para n = 8, temos:<br /><br />D(8) = 8! * (1 - 1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/6 - 1/7 + 1/8)<br /><br />D(8) = 40320 * (1 - 1 + 0.5 - 0.3333 + 0.25 - 0.2 + 0.1667 - 0.1429 + 0.125)<br /><br />D(8) = 40320 * 0.125<br /><br />D(8) = 5040<br /><br />Portanto, o número de anagramas diferentes que podem ser formados com as letras da palavra "CACHORRAL A" é 5040.<br /><br />Agora, precisamos considerar a restrição das letras "R" não ficarem juntas. Para isso, vamos calcular o número de derangements para 7 elementos (removendo uma das "R") e multiplicar esse valor por 2 (para considerar as duas "R" que podem estar em qualquer posição).<br /><br />D(7) = 7! * (1 - 1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/6 - 1/7)<br /><br />D(7) = 5040 * (1 - 1 + 0.5 - 0.3333 + 0.25 - 0.2 + 0.1667 - 0.1429)<br /><br />D(7) = 5040 * 0.125<br /><br />D(7) = 630<br /><br />Multiplicando esse valor por 2, temos:<br /><br />630 * 2 = 1260<br /><br />Portanto, o número de anagramas diferentes que podem ser formados com as letras da palavra "CACHORRAL A", de modo que as duas letras "R" não fiquem juntas, é 1260.