1. 1+3+3^2+... +3^n=(3^n+1-1)/(2)

Para provar a fórmula dada, podemos usar indução matemática. Vamos verificar se a fórmula é verdadeira para n = 1 e n = k, e depois mostrar que implica que ela também é verdadeira para n = k + 1.<br /><br />Para n = 1:<br />Substituindo n = 1 na fórmula, temos:<br />$1 + 3^1 = \frac{3^{1+1} - 1}{2}$<br />Simplificando, temos:<br />$1 + 3 = \frac{3^2 - 1}{2}$<br />$4 = \frac{9 - 1}{2}$<br />$4 = \frac{8}{2}$<br />$4 = 4$<br />Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 1.<br /><br />Para n = k:<br />Suponha que a fórmula seja verdadeira para n = k, ou seja:<br />$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^k = \frac{3^{k+1} - 1}{2}$<br /><br />Para n = k + 1:<br />Queremos mostrar que a fórmula também é verdadeira para n = k + 1, ou seja:<br />$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^k + 3^{k+1} ={3^{(k+1)+1} - 1}{2}$<br /><br />Podemos reescrever a expressão da seguinte forma:<br />$(1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^k) + 3^{k+1} = \frac{3^{k+2} - 1}{2}$<br /><br />Usando a suposição de indução para a primeira parte da expressão, temos:<br />$\frac{3^{k+1} - 1}{2} + 3^{k+1} = \frac{3^{k+2} - 1}{2}$<br /><br />Simplificando, temos:<br />$\frac{3^{k+1} - 1 + 2 \cdot 3^{k+1}}{2} = \frac{3^{k+2} - 1}{2}$<br /><br />$\frac{3^{k+1} - 1 + 2 \cdot 3^{k+1}}{2} = \frac{3^{k+2} - 1}{2}$<br /><br />$\frac{3^{k+1} + 2 \cdot 3^{k+1} - 1}{2} = \frac{3^{k+2} - 1}{2}$<br /><br />$\frac{3^{k+1}(1 + 2)}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3^{k+2} - 1}{2}$<br /><br />$\frac{3^{k+1} \cdot 3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3^{k+2} - 1}{2}$<br /><br />$\frac{3^{k+2}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3^{k+2} - 1}{2}$<br /><br />$\frac{3^{k+2} - 1}{2} = \frac{3^{k+2} - 1}{2}$<br /><br />Portanto, a fórmula é verdadeira para n = k + 1.<br /><br />Concluímos que a fórmula é verdadeira para todos os números naturais n.