(b) lim _(xarrow +infty )(5-cosx)/(x^4)

Para encontrar o limite da função dada, podemos usar a regra de L'Hôpital, que afirma que se o limite de uma função é indeterminado, podemos tomar as derivadas do numerador e do denominador separadamente e encontrar o limite da razão das derivadas.<br /><br />Aplicando a regra de L'Hôpital, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {5-\cos x}{x^{4}} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {0 + \sin x}{4x^{3}}$<br /><br />Novamente, aplicamos a regra de L'Hôpital:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {\sin x}{4x^{3}} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {\cos x}{12x^{2}}$<br /><br />Aplicando novamente a regra de L'Hôpital:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {\cos x}{12x^{2}} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {-\sin x}{24x}$<br /><br />Aplicando novamente a regra de L'Hôpital:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {-\sin x}{24x} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {-\cos x}{24}$<br /><br />Como $\cos x$ é um valor constante, o limite é simplesmente:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac {-\cos x}{24} = \frac {-\cos(\infty)}{24} = \frac {-1}{24}$<br /><br />Portanto, o limite da função dada é $\frac {-1}{24}$.