6 QUESTÃO Seja a função f(x)=sen(2x) definida no intervalo 0,pi /2 valor aproximado da integral dessa função no intervalo considerado e calculado pela regra do trapézio fazendo uso do segmento de reta que passa pelos pontos x=0,x=pi /4 e x=pi /2 é igual a:

Para calcular a integral da função \( f(x) = \sin(2x) \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \) usando a regra do trapézio, podemos dividir o intervalo em três subintervalos: \( [0, \frac{\pi}{4}] \), \( [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}] \) e \( [\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \). Vamos calcular Subintervalo \( [0, \frac{\pi}{4}] \):<br />\[ \text{Base} = \frac{\pi}{4} \]<br />\[ \text{Altura} = \sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0 \]<br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \cdot \text{Base} \cdot \text{Altura} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 0 = 0 \]<br /><br />2. Subintervalo \( [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}] \):<br />\[ \text{Base} = \frac{\pi}{4} \]<br />\[ \text{Altura} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \]<br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \cdot \text{Base} \cdot \text{Altura} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 = \frac{\pi}{8} \]<br /><br />3. Subintervalo \( [\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \):<br />Este subintervalo é apenas um ponto, então a área é zero.<br /><br />Somando as áreas dos subintervalos, obtemos:<br />\[ \text{Área total} = 0 + \frac{\pi}{8} + 0 = \frac{\pi}{8} \]<br /><br />Portanto, o valor aproximado da integral da função \( f(x) = \sin(2x) \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \) calculado pela regra do trapézio é \( \frac{\pi}{8} \).