EXERCICIOS 4) Investigue a sequência a_(n)) definida pela relação de recorrência: a_(1)=2 e a_(n+1)=(1)/(2)(a_(n)+6),nin N^ast a_(1)=2, a_(2)=4 e a_(3)=5 e, de um modo geral, a_(n+1) é a média entre a_(n) e 6. Como a_(1)=2 , temos que a sequência é crescente e limitada superiormente por M=6 . Pelo Teorema 13, ela é convergente . Tomando o limite na relação de recorrência , temos que L=lim _(narrow infty )a_(n+1)=(1)/(2)(lim _(narrow infty )a_(n)+6)=(1)/(2)(L+6)Longrightarrow L=6 Logo, o limite da sequência é lim _(narrow infty )a_(n)=6

sequência $\{ a_{n}\}$ é definida pela relação de recorrência $a_{1}=2$ e $a_{n+1}=\frac {1}{2}(a_{n}+6)$, para $n\in N^{\ast }$. <br /><br />Para investigar essa sequência, podemos calcular os primeiros termos:<br /><br />$a_{1}=2$<br /><br />$a_{2}=\frac {1}{2}(a_{1}+6)=\frac {1}{2}(2+6)=4$<br /><br />$a_{3}=\frac {1}{2}(a_{2}+6)=\frac {1}{2}(4+6)=5$<br /><br />Observando os termos calculados, podemos ver que a sequência é crescente e limitada superiormente por $M=6$. <br /><br />De acordo com o Teorema 13, uma sequência crescente e limitada superiormente é convergente. <br /><br />Tomando o limite na relação de recorrência, temos que:<br /><br />$L=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n+1}=\frac {1}{2}(\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}+6)=\frac {1}{2}(L+6)\Longrightarrow L=6$<br /><br />Portanto, o limite da sequência é $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=6$.