int ((4)/(x+3)-(1)/(4x-3))dx

Para resolver a integral \(\int \left(\frac{4}{x+3} - \frac{1}{4x-3}\right)dx\), podemos dividir a integral em duas partes e resolver cada uma separadamente.<br /><br />Primeiro, vamos resolver a integral \(\int \frac{4}{x+3}dx\). Podemos fazer uma substituição simples, deixando \(u = x + 3\), então \(du = dx\). Assim, a integral se torna \(\int \frac{4}{u}du\), que é simplesmente \(4\ln|u| + C_1\), onde \(C_1\) é a constante de integração.<br /><br />Agora, vamos resolver a integral \(\int \frac{1}{4x-3}dx\). Novamente, podemos fazer uma substituição, deixando \(v = 4x - 3\), então \(dv = 4dx\), ou \(dx = \frac{dv}{4}\). Assim, a integral se torna \(\int \frac{1}{4v} \cdot \frac{dv}{4}\), que é \(\frac{1}{16}\int \frac{1}{v}dv\), que é \(\frac{1}{16}\ln|v| + C_2\), onde \(C_2\) é outra constante de integração.<br /><br />Agora, podemos combinar as duas partes da integral:<br /><br />\[<br />\int \left(\frac{4}{x+3} - \frac{1}{4x-3}\right)dx = 4\ln|x+3| - \frac{1}{16}\ln|4x-3| + C<br />\]<br /><br />onde \(C\) é a constante de integração geral.